《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

用“五点法”作正弦曲线和余弦曲线的步骤

定点：确定五个关键点，即波峰、波谷、平衡点
列表：将上述五个关键点列成表格的形式
描点：在平面直角坐标系中，描出上述五个关键点
连线：用光滑的曲线连接上述五个点，注意连线时，必须具有正弦曲线(或余弦曲线)的特征
平移：将所作的在$[0, 2\pi]$上的图像向左、右平移便可得到在$\boldsymbol{R}$上的函数图像

答案： 用“五点法”作正弦曲线$y=\sin x$的步骤：
1. 定点：关键点为波峰$(\frac{\pi}{2},1)$、波谷$(\frac{3\pi}{2},-1)$、平衡点$(0,0)$、$(\pi,0)$、$(2\pi,0)$。
2. 列表：
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|-----------|-------|-----------------|---------|------------------|---------|
| $\sin x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
3. 描点：在坐标系中描出$(0,0)$、$(\frac{\pi}{2},1)$、$(\pi,0)$、$(\frac{3\pi}{2},-1)$、$(2\pi,0)$。
4. 连线：用光滑曲线连接各点，形成$[0,2\pi]$上的正弦曲线。
5. 平移：将图像向左、右平移$2k\pi(k\in\mathbb{Z})$，得$\mathbb{R}$上的正弦曲线。
用“五点法”作余弦曲线$y=\cos x$的步骤：
1. 定点：关键点为波峰$(0,1)$、波谷$(\pi,-1)$、平衡点$(\frac{\pi}{2},0)$、$(\frac{3\pi}{2},0)$、$(2\pi,1)$。
2. 列表：
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|-----------|-------|-----------------|---------|------------------|---------|
| $\cos x$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
3. 描点：在坐标系中描出$(0,1)$、$(\frac{\pi}{2},0)$、$(\pi,-1)$、$(\frac{3\pi}{2},0)$、$(2\pi,1)$。
4. 连线：用光滑曲线连接各点，形成$[0,2\pi]$上的余弦曲线。
5. 平移：将图像向左、右平移$2k\pi(k\in\mathbb{Z})$，得$\mathbb{R}$上的余弦曲线。

例2-1
函数$f(x) = \sqrt{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$的奇偶性为()。

A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解 先将函数解析式等价化简后，求出函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称。若定义域关于原点对称，再利用函数奇偶性的定义进行判断。
$f(x) = \sqrt{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\sin 2x$，其定义域为$\boldsymbol{R}$，$f(-x) = \sqrt{2}\sin 2(-x) = -\sqrt{2}\sin 2x = -f(x)$，所以$f(x)$是奇函数。
答 A

答案： A

例2-2 2024·天津耀华中学期中
已知函数$f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$，求此函数的最小正周期、单调区间、值域及其图像的对称轴和对称中心。
答 最小正周期$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$。
令$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi (k \in \boldsymbol{Z})$，解得$-\frac{\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{12} + k\pi (k \in \boldsymbol{Z})$，所以其单调递增区间为$\left[-\frac{\pi}{12} + k\pi, \frac{5\pi}{12} + k\pi\right] (k \in \boldsymbol{Z})$；
令$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi (k \in \boldsymbol{Z})$，解得$\frac{5\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{11\pi}{12} + k\pi (k \in \boldsymbol{Z})$，所以其单调递减区间为$\left[\frac{5\pi}{12} + k\pi, \frac{11\pi}{12} + k\pi\right] (k \in \boldsymbol{Z})$。
值域为$[-3, 3]$。
令$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \boldsymbol{Z})$，解得$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} (k \in \boldsymbol{Z})$，所以其图像的对称轴为直线$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} (k \in \boldsymbol{Z})$。
令$2x - \frac{\pi}{3} = k\pi (k \in \boldsymbol{Z})$，解得$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} (k \in \boldsymbol{Z})$，即其图像的对称中心为$\left(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, 0\right) (k \in \boldsymbol{Z})$。

答案： 最小正周期：
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$，
单调递增区间：
令$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，
解得$-\frac{\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{12} + k\pi$，
所以单调递增区间为$\left[-\frac{\pi}{12} + k\pi, \frac{5\pi}{12} + k\pi\right] \quad (k \in \mathbf{Z})$。
单调递减区间：
令$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$，
解得$\frac{5\pi}{12} + k\pi \leq x \leq \frac{11\pi}{12} + k\pi$，
所以单调递减区间为$\left[\frac{5\pi}{12} + k\pi, \frac{11\pi}{12} + k\pi\right] \quad (k \in \mathbf{Z})$。
值域：
由于$\sin$函数的值域为$[-1, 1]$，
所以$f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$的值域为$[-3, 3]$。
对称轴：
令$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$，
解得$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$，
所以对称轴为$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbf{Z})$。
对称中心：
令$2x - \frac{\pi}{3} = k\pi$，
解得$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$，
所以对称中心为$\left(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, 0\right) \quad (k \in \mathbf{Z})$。