《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3-2
求下列函数的值域。
(1)$y=\frac {5x-1}{4x+2}$；(2)$y=\frac {2x^{2}+4x-7}{x^{2}+2x+3}$。

答案： 答
(1)(分离常数法)$y=\frac {5x-1}{4x+2}=\frac {\frac {5}{4}(4x+2)-\frac {7}{2}}{4x+2}=\frac {5}{4}-\frac {7}{2(4x+2)}$。
$\because \frac {7}{2(4x+2)}≠0,\therefore y≠\frac {5}{4},$
∴函数的值域为$(-\infty ,\frac {5}{4})\cup (\frac {5}{4},+\infty )$。
(2)(判别式法)$\because x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2＞0$恒成立，$\therefore x∈\mathbf{R}$。
假设$t$是所求值域中的元素，则关于$x$的方程$\frac {2x^{2}+4x-7}{x^{2}+2x+3}=t$有解，
即$(t-2)x^{2}+2(t-2)x+3t+7=0$有解。
当$t=2$时，不符合；当$t≠2$时，由$\Delta =4(t-2)^{2}-4(t-2)(3t+7)≥0,$
整理，得$(t-2)(2t+9)≤0$。
又$t≠2,\therefore -\frac {9}{2}≤t＜2$。
故函数的值域为$[-\frac {9}{2},2)$。