《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3-3 已知函数$f(x) = a^x - k (a ＞ 0, a \neq 1)$的图像过点$(1,3)$，其反函数的图像过点$(2,0)$，则$f^{-1}(9) =$。

答案： 解
∵函数$f(x)$的反函数的图像过点$(2,0)$，
∴函数$f(x)$的图像过点$(0,2)$，
∴$2 = a^0 - k$，即$k = -1$，
∴$f(x) = a^x + 1$。又$f(x)$的图像过点$(1,3)$，
∴$3 = a + 1$，即$a = 2$，
∴$f(x) = 2^x + 1$，
∴$f^{-1}(x) = \log_2(x - 1), x ＞ 1$，故$f^{-1}(9) = \log_2 8 = 3$。
答 3

例4 2024·天津新华中学期中
如图6-3-8所示的曲线是对数函数$y = \log_a x$，$y = \log_b x$，$y = \log_c x$，$y = \log_d x$的图像，则$a, b, c, d, 0, 1$之间的大小关系为。

答案：
解 过点$(0,1)$作平行于$x$轴的直线$l$(图略)，则直线$l$与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为$c, d, a, b$，显然$b ＞ a ＞ 1 ＞ d ＞ c ＞ 0$。
答 $b ＞ a ＞ 1 ＞ d ＞ c ＞ 0$