《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-1
2024·天津南开中学期中
写出与75°角终边相同的角的集合，并求出在$[360^{\circ },1080^{\circ })$的范围内与75°角终边相同的角。

答案： 答 与75°角终边相同的角的集合为$\{ \beta |\beta =k· 360^{\circ }+75^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$。
令$360^{\circ }\leq \beta ＜1080^{\circ }$，即$360^{\circ }\leq k· 360^{\circ }+75^{\circ }＜1080^{\circ }$，解得$\frac{19}{24}\leq k＜2\frac{19}{24}$。
又$k\in \mathbf{Z}$，所以k=1或k=2。
当k=1时，$\beta =435^{\circ }$；当k=2时，$\beta =795^{\circ }$。
综上所述，与75°角终边相同且在$[360^{\circ },1080^{\circ })$范围内的角为435°角和795°角。

例1-2
写出终边在图7-1-1-7所示的直线上的角的集合。

答案：
答 （1）在0°~360°范围内，终边在直线y=0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为$S_{1}=\{ \beta |\beta =0^{\circ }+k· 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$，所有与180°角终边相同的角的集合为$S_{2}=\{ \beta |\beta =180^{\circ }+k· 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$，于是，终边在直线y=0上的角的集合为$S=S_{1}\cup S_{2}=\{ \beta |\beta =k· 180^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$。
（2）由图形易知，在0°~360°范围内，终边在直线$y=-x$上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线$y=-x$上的角的集合为$S=\{ \beta |\beta =135^{\circ }+k· 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\} \cup \{ \beta |\beta =315^{\circ }+k· 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\} =\{ \beta |\beta =135^{\circ }+k· 180^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$。
（3）终边在直线$y=x$上的角的集合为$\{ \beta |\beta =45^{\circ }+k· 180^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$，结合（2）知所求角的集合为$S=\{ \beta |\beta =45^{\circ }+k· 180^{\circ },k\in \mathbf{Z}\} \cup \{ \beta |\beta =135^{\circ }+k· 180^{\circ },k\in \mathbf{Z}\} =\{ \beta |\beta =45^{\circ }+2k· 90^{\circ },k\in \mathbf{Z}\} \cup \{ \beta |\beta =45^{\circ }+(2k+1)· 90^{\circ },k\in \mathbf{Z}\} =\{ \beta |\beta =45^{\circ }+n· 90^{\circ },n\in \mathbf{Z}\}$。

变式
1 如图7-1-1-8所示，求终边落在函数$y=\sqrt{3}x$的图像上的角的集合。
答案见P411

答案： 当终边落在函数$y = \sqrt{3}x$的图像上时，直线$y = \sqrt{3}x$经过第一、三象限。
1. 第一象限部分：直线的倾斜角满足$\tan\alpha = \sqrt{3}$，解得$\alpha = \frac{\pi}{3}$。终边在此部分的角的集合为$\left\{\theta \mid \theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$。
2. 第三象限部分：直线在第三象限的倾斜角为$\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$。终边在此部分的角的集合为$\left\{\theta \mid \theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\} = \left\{\theta \mid \theta = \frac{\pi}{3} + (2k + 1)\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$。
合并上述两个集合，终边落在函数$y = \sqrt{3}x$图像上的角的集合为$\left\{\theta \mid \theta = \frac{\pi}{3} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}$。
$\boxed{\left\{\theta \mid \theta = \frac{\pi}{3} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}}$