《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3 化简(式中各字母均为正数):
(1)$(x^{\sqrt{2}}y^{\sqrt{3}})^{\sqrt{6}}$;
(2)$4x^{\frac{1}{\sqrt{2}}}·3x^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}(-y^{\sqrt{3}})· y^{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$。

答案： 答
(1)原式$=x^{\sqrt{2}×\sqrt{6}}y^{\sqrt{3}×\sqrt{6}}=x^{2\sqrt{3}}y^{3\sqrt{2}}$。
(2)原式$=-12x^{\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}}y^{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}=-12y^{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$。

例1 2024·四川成都七中月考
$\sqrt{\frac{a^{2}}{b}\sqrt{\frac{b^{3}}{a}\sqrt{\frac{a}{b^{3}}}}}(a＞0,b＞0)$用分数指数幂可表示为。

答案： 解 方法一(由里向外化):
原式$=\sqrt{\frac{a^{2}}{b}\sqrt{\frac{b^{3}}{a}·(\frac{a}{b^{3}})^{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{b}·(\frac{b^{3}}{a}·\frac{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{3}{2}}})^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{b}·(\frac{b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{b}·\frac{b^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}}}=(\frac{a^{2}}{b}·\frac{b^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}})^{\frac{1}{2}}=(a^{2-\frac{1}{4}}· b^{\frac{3}{4}-1})^{\frac{1}{2}}=(a^{\frac{7}{4}}b^{-\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{7}{8}}b^{-\frac{1}{8}}$。
方法二(由外向里化):
原式$=(\frac{a^{2}}{b}\sqrt{\frac{b^{3}}{a}\sqrt{\frac{a}{b^{3}}}})^{\frac{1}{2}}=[\frac{a^{2}}{b}(\frac{b^{3}}{a}\sqrt{\frac{a}{b^{3}}})^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{2}}=\{\frac{a^{2}}{b}[\frac{b^{3}}{a}·(\frac{a}{b^{3}})^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}=(\frac{a^{2}}{b})^{\frac{1}{2}}·(\frac{b^{3}}{a})^{\frac{1}{4}}·(\frac{a}{b^{3}})^{\frac{1}{8}}=\frac{a}{b^{\frac{1}{2}}}·\frac{b^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}}·\frac{a^{\frac{1}{8}}}{b^{\frac{3}{8}}}=a^{\frac{7}{8}}b^{-\frac{1}{8}}$。
答 $a^{\frac{7}{8}}b^{-\frac{1}{8}}$

例2 化简下列各式:
(1)$\frac{1-a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}}-\frac{1+a^{-\frac{1}{2}}}{1+a^{\frac{1}{2}}}$;
(2)$\frac{x-1}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1}+\frac{x+1}{x^{\frac{1}{3}}+1}-\frac{x-x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}-1}$;
(3)$\frac{(a^{3}+a^{-3})(a^{3}-a^{-3})}{(a^{4}+a^{-4}+1)(a-a^{-1})}+\frac{a^{2}(1+a^{-4})-2}{a-a^{-1}}$。

答案： 答
(1)原式$=\frac{a^{-1}a-a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}}-\frac{a^{-\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}}{1+a^{\frac{1}{2}}}=\frac{a^{-1}(a-1)}{a^{-\frac{1}{2}}(a-1)}-\frac{a^{-\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}+1)}{1+a^{\frac{1}{2}}}=a^{-\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}=0$。
(2)原式$=\frac{(x^{\frac{1}{3}}-1)(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1)}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1}+\frac{(x^{\frac{1}{3}}+1)(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}+1)}{x^{\frac{1}{3}}+1}-\frac{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+1)(x^{\frac{1}{3}}-1)}{x^{\frac{1}{3}}-1}=x^{\frac{1}{3}}-1+x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}+1-x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}=-x^{\frac{1}{3}}$。
(3)原式$=\frac{a^{6}-a^{-6}}{(a^{4}+a^{-4}+1)(a-a^{-1})}+\frac{a^{2}+a^{-2}-2}{a-a^{-1}}=\frac{(a^{2})^{3}-(a^{-2})^{3}}{(a^{4}+a^{-4}+1)(a-a^{-1})}+\frac{(a-a^{-1})^{2}}{a-a^{-1}}=\frac{(a^{2}-a^{-2})(a^{4}+1+a^{-4})}{(a^{4}+a^{-4}+1)(a-a^{-1})}+a-a^{-1}=a+a^{-1}+a-a^{-1}=2a$。