《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3-2
若 $0 ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2}$, 证明: $\sin \alpha + \cos \alpha ＞ 1$。

答案：
答 方法一(利用定义): 设P(x,y)是角α终边上任一点(不同于原点), $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, 则 $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{y}{r} + \frac{x}{r} = \frac{y + x}{r}$。
∵ $x ＞ 0, y ＞ 0$,
∴ $r = \sqrt{x^2 + y^2} ＜ \sqrt{x^2 + 2xy + y^2} = \sqrt{(x + y)^2} = x + y$,
∴ $\frac{x + y}{r} ＞ 1$,
∴ $\sin \alpha + \cos \alpha ＞ 1$。
方法二(利用三角函数线): 如图7-2-1-6所示, 在直角坐标系中作单位圆, 角α的终边与单位圆交于点P, 作PM⊥x轴, 垂足为点M,
∵ $0 ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2}$,