《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3
已知集合A={xlax²−3x−4=0,x∈R}。
(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;
(2)当A中有两个元素时,求a满足的条件;
(3)当A中至少有一个元素时,求α满足的条件。
错解(1)由于A中有且只有一个元素，故方程ax²−3x−4=0的判别式△=9+16a=0,即a=
−$\frac{9}{16}$。此时集合A中的元素为−$\frac{8}{3}$。
(2)当A中有两个元素时,方程ax²−3x−4=0 的判别式△=9+16a＞0,即a＞−$\frac{9}{16}$。
(3)由(1)(2)知a≥−$\frac{9}{16}$。
错因分析，本题的集合是一个方程的解集，而方程的最高次项系数含有参数，因此要对参数进行讨论，它也可能是一元一次方程。
对于方程ax2+bx+c=0的解集中的元素个数问题，一般思考过程如下:
第一步:判断方程的类型,先考虑α是否为0。若不是，则执行第二步，若是，再看b是否为0。若b≠0,则方程有唯一解,即解集中元素个数为1;若b=0,c=0,则方程有无数解,即解集为无限集;若b=0,c≠0,则方程无解,即解集中元素个数为0。
第二步:判断一元二次方程解的情况，考虑一元二次方程ax²2+bx+c=0(a≠0)的判别式△=
b2−4ac。
若△＞0,则解集中有两个元素;
若A=0,则解集中有一个元素;
若△＜0,则解集中元素个数为0。

满分策略，涉及方程的根的问题，若最高次项的
系数含有参数,则要对参数进行讨论，讨论时要
分最高次项系数等于0和不等于0两种情况，
再由判别式来确定元素个数，要特别注意集合
中元素的互异性。

答案：
(1)
①当$a = 0$时，方程$-3x - 4 = 0$，解得$x = -\frac{4}{3}$，此时集合$A = \{-\frac{4}{3}\}$。
②当$a\neq 0$时，由$\Delta =(-3)^{2}-4a×(-4)=9 + 16a = 0$，得$a = -\frac{9}{16}$。
将$a = -\frac{9}{16}$代入方程$-\frac{9}{16}x^{2}-3x - 4 = 0$，$9x^{2}+48x + 64 = 0$，$(3x + 8)^{2}=0$，解得$x_1 = x_2 = -\frac{8}{3}$，此时集合$A = \{-\frac{8}{3}\}$。
综上，当$a = 0$时，集合$A$中的元素为$-\frac{4}{3}$；当$a = -\frac{9}{16}$时，集合$A$中的元素为$-\frac{8}{3}$。
(2)
因为集合$A$中有两个元素，即方程$ax^{2}-3x - 4 = 0$有两个不相等的实根，所以$\begin{cases}a\neq 0\\\Delta = 9 + 16a＞0\end{cases}$，解得$a＞-\frac{9}{16}$且$a\neq 0$。
(3)
当集合$A$中有两个元素时，由
(2)得$a＞-\frac{9}{16}$且$a\neq 0$；当集合$A$中有一个元素时，由
(1)得$a = 0$或$a = -\frac{9}{16}$。
综上，当$A$中至少有一个元素时，$a\geqslant -\frac{9}{16}$。