《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4
已知函数$y=\frac {mx^{2}+8x+n}{x^{2}+1}$的定义域为$(-\infty ,+\infty )$，值域为$[1,9]$，则$m$的值为，$n$的值为。

答案： 解 由$y=\frac {mx^{2}+8x+n}{x^{2}+1}$，得$(y-m)x^{2}-8x+(y-n)=0$。$\because x∈\mathbf{R}$，若$y-m≠0$，则$\Delta =(-8)^{2}-4(y-m)(y-n)≥0$，即$y^{2}-(m+n)y+(mn-16)≤0$。由$1≤y≤9$知，关于$y$的一元二次方程$y^{2}-(m+n)y+(mn-16)=0$的两根为1和9，故有$\left\{\begin{array}{l} m+n=1+9,\\ mn-16=1×9,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=5,\\ n=5\end{array}\right. $。若$y-m=0$，$m=n=5$也符合题意。$\therefore m=n=5$即为所求。
答 5 5

例5
在下列四组函数中，$f(x)$与$g(x)$表示同一个函数的是()。

A.$f(x)=x-1,g(x)=\frac {x^{2}-1}{x+1}$
B.$f(x)=|x+1|,g(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1,x≥-1,\\ -1-x,x＜-1\end{array}\right. $
C.$f(x)=x$与$g(x)=\sqrt [3]{x^{3}}$
D.$f(x)=x$与$g(x)=(\sqrt {x})^{2}$

答案： 解 对于A，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，$y=\sqrt {x^{2}}$的定义域是$\mathbf{R}$，$y=\sqrt {x}· \sqrt {x}$的定义域是$[0,+\infty )$，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，$y=x$的定义域是$\mathbf{R}$，$y=\frac {x^{2}}{x}$的定义域是$\{ x|x≠0\}$，两函数的定义域不同，不是同一函数。
答 B