《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例62024.浙江杭州二中期中
某学校教师组织学生以函数f(x)=lg$\frac{1−x}{1+x}$
为基本素材,研究该函数的相关性质,取得
部分研究成果如下:
①同学甲发现:函数A(x)的定义域为(−1,
1);
②同学乙发现:函数∮(x)是偶函数;
③同学丙发现:对于任意的x∈(−1,1),都
有$\frac{2x}{x²+1}$)=2∮(x);
④同学丁发现:对于任意的a,b∈(−1,1),
都有A(a)+∮(b)=($\frac{a+b}{1+ab}$);
⑤同学戊发现:对于函数∮(x)定义域中任意
的两个不同实数x1,x2,总满足$\frac{x)−f(x)}{x−x2}$＞
0.
其中正确研究成果的序号是。
②函数f(x)=logα(bx+√1+b²x²)(a＞0,a≠1)
为奇函数。
[证明]f(−x)=log。(−bx+√1+b²x²)
=loga$\frac{1}{bx+√1+b²x²}$=logα(bx+√1+b²x²)−1
=−1oga(bx+√1+b²x²)=−f(x),
因此上述结论成立。
③函数∮(x)=logα(abx+1)−$\frac{b}{2}$x(a＞0,a≠1)为偶函数。
[证明]∫(x)=log。(abx+1)−$\frac{b}{2}$x=loga(abx+1)+logaa−x=loga(a−x+ax),
而函数g(x)=a−+ax为偶函数,所以f(x)为偶函数。

答案： 解题通法
对数型函数的奇偶性问题的求解方法
对数函数本身不具有奇偶性,但有些函数与
对数函数复合后,就具有奇偶性了，如y=
log2lxl就是偶函数。一般利用函数奇偶性的
定义,并结合对数的运算性质来判断这类函
数的奇偶性。
为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函
数进行化简，或利用定义的等价形式进行判
断;f(−x)=±f(x)f(−x)±f(x)=0=
∮f((−xx))=±1(f(x)≠0)。其中f(−x)+
f(x)=0,f(−x)−f(x)=0多用于对数型函
数奇偶性的判断,∮(f(−xx))=±1多用于指数型
函数奇偶性的判断。
解在①中,因为A(x)=lg$\frac{1−x}{1+x}$,所以$\frac{1−x}{1+x}$＞
0,解得函数的定义域为(−1,1),所以①是
正确的;在②申,f(x)=1g$\frac{1−x}{1+x}$=
−1g$\frac{1+x}{1−x}$=−f(−x),所以函数f(x)为奇函
数,所以②是错误的;在③中,对于任意x∈
(−1,1),有$\frac{2x}{x²+1}$=(−1,1),f($\frac{2x}{x²+1}$)=
1−$\frac{2x}{x²+1}$
1g =1g$\frac{x²−2x+1}{x²+2x+1}$=1g$\frac{(x−1)²}{(x+1)²}$,又
1+$\frac{2x}{x²+1}$
2∮(x)=21g$\frac{1−x}{1+x}$=1g((xx−+11))²²,所以③是正
确的;在④中,对于任意的a,b∈(−1,1),
有$\frac{a+b}{1+ab}$∈(−1,1)∮(a)+f(b)=1g$\frac{1−a}{1+a}$+
1g$\frac{1−b}{1+b}$=1g($\frac{1−a}{1+a}$.$\frac{1−b}{1+b}$)=1g$\frac{1−a−b+ab}{1+a+b+ab}$,
1−$\frac{a+b}{1+ab}$
又$\frac{a+b}{1+ab}$)=1g =lg$\frac{1−a−b+ab}{1+a+b+ab}$”
1+$\frac{a+b}{1+ab}$
所以④是正确的;在⑤中,对于函数f(x)的定
义域中任意的两个不同实数x,x,总满足
1$\frac{x)−f(x)}{x−x2}$＞0,即说明f(x)是增函数,但
∮(x)=lg$\frac{1−x}{1+x}$=1g(−1+$\frac{2}{1+x}$)是减函数,所
以5是错误的。综上可知，正确研究成果的
序号为①③④。
答①③④