《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例5-2
已知函数$ f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 $在区间$ [0,2] $上的最小值为$ 3 $，求$ a $的值。

答案： 答 函数$ f(x) $的解析式可化为$ f(x)=4\left( x-\frac{a}{2} \right)^2+(2-2a) $。
①当$ 0＜\frac{a}{2}＜2 $，即$ 0＜a＜4 $时，$ f(x) $有最小值$ 2-2a $，依题意有$ 2-2a=3 $，解得$ a=-\frac{1}{2} $，这个值与条件$ 0＜a＜4 $矛盾。
②当$ \frac{a}{2}\leq0 $，即$ a\leq0 $时，$ f(0)=a^2-2a+2 $是最小值，依题意有$ a^2-2a+2=3 $，解得$ a=1\pm\sqrt{2} $。又$ \because a\leq0 $，$ \therefore a=1-\sqrt{2} $。
③当$ \frac{a}{2}\geq2 $，即$ a\geq4 $时，$ f(2)=16-8a+a^2-2a+2 $是最小值，
依题意有$ 16-8a+a^2-2a+2=3 $，

例5-3
求函数$ f(x)=x^2-2x+2 $在区间$ [t,t+1] $上的最小值$ g(t) $。

答案：
解 函数$ f(x)=x^2-2x+2 $图像的对称轴为直线$ x=1 $，在区间$ (-\infty,1) $上单调递减，在区间$ (1,+\infty) $上单调递增，给出的定义域$ [t,t+1] $随$ t $的变化而变化，所以需根据$ t $的值讨论函数在$ [t,t+1] $上的单调性，从而求得最小值。
答 $ f(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1 $，$ x\in[t,t+1] $，$ t\in\mathbf{R} $，其图像所在抛物线的对称轴为直线$ x=1 $。
当$ t+1＜1 $，即$ t＜0 $时，函数图像如图5-4①所示，函数$ f(x) $在区间$ [t,t+1] $上为减函数，所以最小值为$ f(t+1)=t^2+1 $；
当$ t\leq1\leq t+1 $，即$ 0\leq t\leq1 $时，函数图像如图5-4②所示，最小值为$ f(1)=1 $;
当$ t＞1 $时，函数图像如图5-4③所示，函数$ f(x) $在区间$ [t,t+1] $上为增函数，所以最小值为$ f(t)=t^2-2t+2 $。
综上，可得$ g(t)=\begin{cases} t^2+1,t＜0, \\ 1,0\leq t\leq1, \\ t^2-2t+2,t＞1 \end{cases} $。