《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-2 2022·浙江高考
已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^2+2,x\leqslant1,\\x+\frac{1}{x}-1,x＞1,\end{cases}$则$f(f\left(\frac{1}{2}\right))=$ ______ ；若当$x\in[a,b]$时，$1\leqslant f(x)\leqslant3$，则$b-a$的最大值是 ______ 。

答案：
解 由题意知$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\left(\frac{1}{2}\right)^2+2=\frac{7}{4}$，则$f(f\left(\frac{1}{2}\right))=f\left(\frac{7}{4}\right)=\frac{7}{4}+\frac{4}{7}-1=\frac{37}{28}$。作出函数$f(x)$的图像，如图5-2-11所示，结合图像，令$-x^2+2=1$，解得$x=\pm1$；令$x+\frac{1}{x}-1=3$，解得$x=2\pm\sqrt{3}$，又$x＞1$，所以$x=2+\sqrt{3}$，所以$(b-a)_{\max}=2+\sqrt{3}-(-1)=3+\sqrt{3}$。
答 $\frac{37}{28}$ $3+\sqrt{3}$

例2 全国Ⅱ高考
设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，满足$f(x+1)=2f(x)$，且当$x\in(0,1]$时，$f(x)=x(x-1)$。若对任意$x\in(-\infty,m]$，都有$f(x)\geqslant-\frac{8}{9}$，则$m$的取值范围是()。

A.$(-\infty,\frac{9}{4}]$
B.$(-\infty,\frac{7}{3}]$
C.$(-\infty,\frac{5}{2}]$
D.$(-\infty,\frac{8}{3}]$

答案： 解 当$-1＜x\leqslant0$时，$0＜x+1\leqslant1$，则$f(x)=\frac{1}{2}f(x+1)=\frac{1}{2}(x+1)x$；当$1＜x\leqslant2$时，$0＜x-1\leqslant1$，则$f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)$；当$2＜x\leqslant3$时，$0＜x-2\leqslant1$，则$f(x)=2f(x-1)=2^2f(x-2)=2^2(x-2)(x-3)$；…。由此可得$f(x)=\begin{cases}·s\frac{1}{2}(x+1)x,-1＜x\leqslant0,\\x(x-1),0＜x\leqslant1,\\2(x-1)(x-2),1＜x\leqslant2,\\2^2(x-2)(x-3),2＜x\leqslant3,\\·s\end{cases}$作出函数$f(x)$的图像并画出直线$y=-\frac{8}{9}$，如图5-2-12所示。
由图可知当$2＜x\leqslant3$时，令$2^2(x-2)(x-3)=-\frac{8}{9}$，整理得$(3x-7)(3x-8)=0$，解得$x=\frac{7}{3}$或$x=\frac{8}{3}$，将这两个值标注在图中，要使对任意$x\in(-\infty,m]$都有$f(x)\geqslant-\frac{8}{9}$，必有$m\leqslant\frac{7}{3}$，即实数$m$的取值范围是$(-\infty,\frac{7}{3}]$。
答 B