《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1 2022·北京大学强基计划
已知$ f(x) $是二次函数，$ f(-2)=0 $，且$ 2x\leq f(x)\leq\frac{x^2+4}{2} $，则$ f(10)= $。

答案： 解 由$ f(-2)=0 $，可设$ f(x)=(x+2)(ax+b)=ax^2+(2a+b)x+2b(a\neq0) $。则由$ f(x)\geq2x $得$ ax^2+(2a+b-2)x+2b\geq0 $，所以$ a＞0 $且$ (2a+b-2)^2-8ab\leq0 $，整理后即为$ 4a^2+b^2\leq4ab+8a+4b-4 $ ①；
由$ f(x)\leq\frac{x^2+4}{2} $得$ (2a-1)x^2+(4a+2b)x+4b-4\leq0 $，若$ 2a-1=0 $即$ a=\frac{1}{2} $，则必有$ 4a+2b=0 $，即$ b=-1 $，且$ 4b-4\leq0 $，即$ b\leq1 $，此时与$ (2a+b-2)^2-8ab\leq0 $矛盾，所以$ 2a-1＜0 $且$ (4a+2b)^2-4(2a-1)(4b-4)\leq0 $，整理后为$ 4a^2+b^2\leq4ab-8a-4b+4 $ ②。
由①②相加即得$ 4a^2+b^2\leq4ab $，即$ (2a-b)^2\leq0 $，所以$ 2a=b $，所以$ f(x)=(x+2)(ax+2a)=a(x+2)^2 $。又在原不等式中令$ x=2 $可得$ 4\leq f(2)\leq4 $，所以$ f(2)=4 $，由此解得$ a=\frac{1}{4} $，所以$ f(x)=\frac{1}{4}(x+2)^2 $，$ f(10)=36 $。
答 36

例2 2022·全国高中数学联赛贵州赛区预赛
函数$ f(x)=\frac{x+1}{x}+\frac{x+2}{x+1}+·s+\frac{x+2023}{x+2022} $的对称中心为$ (a,b) $，则$ 2a+b= $。

答案： 解 $ f(x)=\frac{x+1}{x}+\frac{x+2}{x+1}+·s+\frac{x+2023}{x+2022}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+·s+\frac{1}{x+2022}+2023 $。设$ g(x)=f(x-1011)-2023=\frac{1}{x-1011}+\frac{1}{x-1010}+·s+\frac{1}{x+1010}+\frac{1}{x+1011} $，则$ g(-x)=\frac{1}{-x-1011}+\frac{1}{-x-1010}+·s+\frac{1}{-x+1010}+\frac{1}{-x+1011}=-\left( \frac{1}{x-1011}+\frac{1}{x-1010}+·s+\frac{1}{x+1010}+\frac{1}{x+1011} \right)=-g(x) $，$ \therefore g(x)=f(x-1011)-2023 $是奇函数，即$ f(x-1011)+f(-x-1011)=2023×2 $，所以$ f(x) $的图像关于点$ (-1011,2023) $对称，$ \therefore 2a+b=2×(-1011)+2023=1 $。
答 1

例3 全国高中数学联赛湖北赛区预赛
黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用。黎曼函数定义在$ [0,1] $上，其解析式如下：$ R(x)=\begin{cases}\frac{1}{p},x=\frac{q}{p}(p,q互质,p＞q), \\ 0,x=0,1 或[0,1] 上的无理数,\end{cases}$定义在实数集上的函数$ f(x) $，$ g(x) $满足$ f(-x)=5-g(2+x) $，$ g(x)=9+f(x-4) $，且函数$ g(x) $的图像关于直线$ x=2 $对称，$ g(2)=2 $，当$ x\in(0,1) $时，$ f(x)=R(x) $，则$ f(2022)+f\left( -\frac{2023}{6} \right)= $ ______ 。

答案： 解 因为函数$ g(x) $的图像关于直线$ x=2 $对称，所以$ g(2+x)=g(2-x) $，由$ f(-x)=5-g(2+x) $得$ f(x)=5-g(2-x) $，所以$ f(-x)=f(x) $，所以$ f(x) $为偶函数。由$ g(x)=9+f(x-4) $得$ g(2-x)=9+f(-x-2)=9+f(x+2) $，代入$ f(x)=5-g(2-x) $得$ f(x)=-4-f(x+2) $，所以$ f(x)+f(x+2)=-4 $，所以$ f(x+2)+f(x+4)=-4 $，所以$ f(x)=f(x+4) $，所以$ f(x) $是以4为周期的函数。由$ g(x)=9+f(x-4) $得$ g(2)=9+f(-2)=2 $，所以$ f(-2)=-7 $，即$ f(2)=-7 $，由$ f(x)+f(x+2)=-4 $得$ f\left( -\frac{7}{6} \right)+f\left( -\frac{7}{6}+2 \right)=-4 $，所以$ f\left( -\frac{7}{6} \right)+f\left( \frac{5}{6} \right)=-4 $，即$ f\left( -\frac{7}{6} \right)+R\left( \frac{5}{6} \right)=-4 $，所以$ f\left( -\frac{7}{6} \right)+\frac{1}{6}=-4 $，所以$ f\left( -\frac{7}{6} \right)=-4-\frac{1}{6} $，$ f(2022)+f\left( -\frac{2023}{6} \right)=f(4×505+2)+f\left( -4×84-\frac{7}{6} \right)=f(2)+f\left( -\frac{7}{6} \right)=-7-4-\frac{1}{6}=-\frac{67}{6} $。
答 $ -\frac{67}{6} $