《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

(1)利用同角三角函数的基本关系式化简
①三角函数式的化简就是代数式的恒等变形,使结果尽可能简单,也就是项数尽可能少,次数尽可能低,函数种类尽可能少,式子中尽量不含根号,能求值的一定要求值。
②同角三角函数式化简过程中常用的方法:
a.对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全 cosαsin2α+sin4α)
平方数(式),然后去根号达到化简的目的;
b.化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正、余函数，从而减少函数角称数达到化往的目的因式 所以原式=1+a+√分解,或构造sin²α+cos2α=1,以降低函数次数，达到化简的目的。
(2)利用同角三角函数的基本关系式证明等式
①证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程。证明恒等式常用以下方法:
a.从一边开始证明它等于另一边，一般是由繁到简。
b.证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)。
c.差比法;即证左边−右边=0或=1(右边≠0)。
d.证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而
得tanθ=−$\frac{4}{3}$⑤.
从①②③④⑮中选择任何三个填上即可。
答(1)sinθcosθ=−$\frac{12}{25}$
(2)sinθ−cosθ=$\frac{7}{5}$
(3)tanθ=−$\frac{4}{3}$(答案不唯一)

答案：
(1)$\vert\sin\alpha\vert$
(2)①$\sin\theta\cos\theta=-\frac{12}{25}$；②$\sin\theta - \cos\theta=\frac{7}{5}$；③$\tan\theta=-\frac{4}{3}$

例2−1
化简:
(1)cos6α+sin6α+3sin2αcos2α;
(2)一人$\frac{1+cosα}{1−cosa}$+√$\frac{1−cosα}{1+cos}$(180°＜α＜
270°);
(3)sin2αtanα+$\frac{coS}{tan}$2+2sinαcosα。

答案： 答
(1)原式=(cos²α+sin²α)(cos4α−
+3sin²αcos2α=cos4α+
2sin²2αcos²α+sin4α=(sin²α+cos2α)²=1。
(2)因为180°＜α＜270°,所以sinα＜0,
$\frac{(1−cosα)}{1−cos²a}$=
$\frac{1+cosα}{lsinl}$+$\frac{1−cosα}{lsinl}$=$\frac{2}{Isinl}$=−$\frac{2}{sin}$。
(3)原式=sin2α.$\frac{sin}{COSQ}$. +cos2α.$\frac{cOSQ}{sin}$+2sinαcosα=$\frac{sinα+cosα+2sin²αcos²α}{cosasin}$=
(sins²iαn+αccooss²α)²=$\frac{1}{sinacos}$。

例2−22024.江西师大附中期中
求证;sinθ(1+tanθ)+cosθ(1+$\frac{1}{tan}${=
$\frac{1}{sin0}$+$\frac{1}{coSθ}$。
推出原式成立。
②条件恒等式的证明:
含有条件的三角恒等式的证明基本方法同前面，但应注意条件的利用,常用方法有:a.直推法:从条件直推到结论;b.代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明;c.换元法。
③证明三角恒等式的其他方法:
综合法:即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异的方法,简言之,即化异为同的方法。
L特别提醒
化“切”为“弦”是三角函数式化简中一种非常
重要的变形手段,即如果式中有切与弦，先统
一化为弦,再作处理。

答案： 答sinθ(1+tanθ)+cosθ(1+$\frac{1}{tan0}${
=Ssin(1+$\frac{sin0}{COSθ}${+cosθ{(1+$\frac{cOSθ}{sin0}${
=sinθ+$\frac{sin²0}{coSθ}$+cosθ+$\frac{cos²A}{sin0}$
=(sinθ+$\frac{cos²0}{sin0}$)+(cosθ+$\frac{sin0}{CoSθ}$2{
=$\frac{sin²0+cos²θ}{sin0}$+$\frac{cos²θ+sin²θ}{COSθ}$
=$\frac{1}{sin0}$+$\frac{1}{coSθ}$,所以原等式成立。