《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3-2 使幂函数$y = x^{\alpha}$为偶函数，且在$(0, +\infty)$上是减函数的$\alpha$值为()。

A.-1
B.$-\frac{2}{3}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.2

答案： 解
∵ 幂函数$y = x^{\alpha}$在$(0, +\infty)$上是减函数，
∴ $\alpha ＜ 0$，
∴ 选项D错误；
当$\alpha = -1$时，$y = x^{-1} = \frac{1}{x}$为奇函数，
∴ 选项A错误；
当$\alpha = \frac{2}{3}$时，$y = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$为偶函数，
∴ 选项B正确；
当$\alpha = -\frac{1}{2}$时，$y = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$的定义域为$(0, +\infty)$，不关于原点对称，不具有奇偶性，
∴ 选项C错误。故选B。
答 B

例1
(1) 函数$y = x^{\frac{3}{4}}$的定义域是，值域是；
(2) 函数$y = x^{-\frac{2}{3}}$的定义域是，值域是；
(3) 函数$y = x^{\frac{2}{3}}$的定义域是，值域是；
(4) 函数$y = x^{-\frac{3}{2}}$的定义域是，值域是；
(5) 函数$y = x^{\frac{4}{5}}$的定义域是，值域是；
(6) 函数$y = x^{-\frac{5}{4}}$的定义域是，值域是。

答案： 解
(1) $y = x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$的定义域是$\mathbb{R}$，值域是$[0, +\infty)$。
(2) $y = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$的定义域是$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，值域是$(0, +\infty)$。
(3) $y = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt{x^3}$的定义域是$[0, +\infty)$，值域是$[0, +\infty)$。
(4) $y = x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^3}}$的定义域是$(0, +\infty)$，值域是$(0, +\infty)$。
(5) 函数$y = x^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{x^4}$的定义域是$\mathbb{R}$，值域是$[0, +\infty)$。
(6) 函数$y = x^{-\frac{5}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^5}}$的定义域是$(0, +\infty)$，值域是$(0, +\infty)$。
答
(1) $\mathbb{R}$，$[0, +\infty)$
(2) $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，$(0, +\infty)$
(3) $[0, +\infty)$，$[0, +\infty)$
(4) $(0, +\infty)$，$(0, +\infty)$
(5) $\mathbb{R}$，$[0, +\infty)$
(6) $(0, +\infty)$，$(0, +\infty)$