《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

①分段函数求值
[例]已知函数f(x)={3x²x,−−4×1+≤6x,≤11＜,x＜5,则∮(∮(1))=。
[解]因为1∈[−1,1],所以∮(1)=3×1=3。又3∈(1,5),所以∮(3)=3²−4×3+6=3,即f(f(1))=3。
[答]3

答案： 3

②分段函数与不等式
[例]设函数f(x)={x2 −1,x≥0, 若f(a)≥3x²+x−9,x＜0,
α,求a的取值范围。
答方法一:因为f(0)=1,且f(x−y)=
f(x)−y(2x−y+1),所以令y=x,则f(x−
y)=f(0)=f(x)−x(2x−x+1),所以
∮(x)=x²2+x+1。
方法二:令x=0,得f(0−y)=f(0)−
y(−y+1),即f(−y)=1−y(−y+1),将
−y用x代换得∮(x)=x²2+x+1。

答案： 答案略

例2
x+1,x≤−2,
已知函数f(x)={x²+2x,−2＜x＜2,
2x−1,x≥2。
(1)求f(−5)f(−√33)∮(f(−$\frac{5}{2}$))的值;
(2)若∮(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)＞m,求实数m的取值范围。
解(1)先判断自变量满足的范围,再确定
相应的函数解析式,求出函数值;(2)(3)应
分类讨论，求参数的值或取值范围。
答(1)由−5∈(−∞,−2],
知∮(−5)=−5+1=−4。
由−√3∈(−2,2),
知f(−√3)=(−√3)²+2×(−√3)=3−2√3。
由−$\frac{5}{2}$∈(−∞o,−2],
知f(−$\frac{5}{2}$)=−$\frac{5}{2}$+1=−$\frac{3}{2}$。
又−$\frac{3}{2}$∈(−2,2),所以f(f(−$\frac{5}{2}$))=
2
f(−$\frac{3}{2}$)= (−$\frac{3}{2}${ + 2 × (−$\frac{3}{2}${=
$\frac{9}{4}$−3=−$\frac{3}{4}$。
(2)①当a≤−2时;∮(a)=a+1,则a+1=
3,a=2＞−2,不合题意,舍去。
②当−2＜a＜2时,有a²2+2a=3,即a²2+
2a−3=0,解得a=1或a=−3。
因为1∈(−2,2),−3∉(−2,2),所以a=
1,符合题意。
[解]已知条件中涉及的不等式含f(a),因此需对a的取值情况进行分类讨论。
[答]当a≥0时,f(a)=$\frac{2}{3}$a−1,由f(a)≥a,得a≤−3,此时a不存在;当a＜0时,f(a)=3a²+a−9,由∮(a)≥a,得3a²+a−9≥a,即a²≥3,结合a＜0,得a≤−√3。综上,满足∮(a)≥a的a的取值范围为(−∞，−√3]。

答案：
(1)
$f(-5)=-5 + 1=-4$；
$f(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^{2}+2×(-\sqrt{3})=3 - 2\sqrt{3}$；
因为$f(-\frac{5}{2})=-\frac{5}{2}+1=-\frac{3}{2}$，且$-2\lt-\frac{3}{2}\lt2$，所以$f(f(-\frac{5}{2}))=f(-\frac{3}{2})=(-\frac{3}{2})^{2}+2×(-\frac{3}{2})=\frac{9}{4}-3=-\frac{3}{4}$。
(2)
当$a\leq - 2$时，$f(a)=a + 1$，由$a + 1 = 3$，得$a = 2$，因为$2\gt - 2$，不合题意，舍去；
当$-2\lt a\lt2$时，$f(a)=a^{2}+2a$，由$a^{2}+2a = 3$，即$a^{2}+2a - 3 = 0$，解得$a = 1$或$a=-3$，因为$1\in(-2,2)$，$-3\notin(-2,2)$，所以$a = 1$；
当$a\geq2$时，$f(a)=2a - 1$，由$2a - 1 = 3$，得$a = 2$，符合题意。
综上，$a$的值为$1$或$2$。
(3)
当$m\leq - 2$时，$f(m)=m + 1$，由$f(m)\gt m$，即$m + 1\gt m$，$1\gt0$恒成立，所以$m\leq - 2$满足；
当$-2\lt m\lt2$时，$f(m)=m^{2}+2m$，由$f(m)\gt m$，即$m^{2}+2m\gt m$，$m^{2}+m\gt0$，$m(m + 1)\gt0$，解得$m\gt0$或$m\lt - 1$，结合$-2\lt m\lt2$，得$-2\lt m\lt - 1$或$0\lt m\lt2$；
当$m\geq2$时，$f(m)=2m - 1$，由$f(m)\gt m$，即$2m - 1\gt m$，解得$m\gt1$，结合$m\geq2$，所以$m\geq2$满足。
综上，实数$m$的取值范围是$(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$。