《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

[例1]若存在常数p＞0,使得函数f(x)满足∮(px)=f(px−),x∈R,则f(x)的一个正周期为。
[解]令px−纟=u,则px=u+乌,依题意有u+厶{=∮(u),此式对任意的u∈R都成立,而＞0且为常数,因此f(x)是一个周期函数,是一个正周期。所以应填(填的正整数倍中的任何一个也正确{a
[答

]

(答案不唯一)

答案： 令$ u = px - \frac{\pi}{2} $，则$ px = u + \frac{\pi}{2} $。
由题意$ f(px) = f(px - \frac{\pi}{2}) $，可得$ f(u + \frac{\pi}{2}) = f(u) $对任意$ u \in \mathbb{R} $成立。
根据周期函数定义，$ f(x) $的一个正周期为$ \frac{\pi}{2} $。
$\frac{\pi}{2}$

[例2]求函数y=Isin2xl的最小正周期。
[答]设f(x)=|Ssin2xl,则f($\frac{H}{2}$+x{=
|sin2($\frac{H}{2}$+x)|=|sin(2x+π)|=|−sin2x|=
Isin2x|=f(x),∴$\frac{H}{2}$是y=lsin2xl的一个周期。设T是函数f(x)的一个周期,且0＜T＜$\frac{H}{2}$，则∮(x)=Isin2x1=f(x+T)=Isin(2x+2T)1对x∈
R恒成立。令x=0,则有sin2T=0。∵0＜T＜
$\frac{A}{2}$∴0＜2T＜π。在(0,π)内不存在正弦值为0 的角,这与sin2T=0矛盾。故$\frac{H}{2}$是y=|sin2x|
的最小正周期。

答案： $\frac{\pi}{2}$

一
例1−1
求下列函数的周期。
(1)y=2Ssin(3x−$\frac{H}{6}$)(x∈R);
(2)y=lcos2xl(x∈R)。

答案：
答
(1)方法一(定义法):令u=3x−$\frac{H}{6}$。
∵x∈R,
∴ueR.
∵函数y=2sinu的最小正周期是2π,
∴变量u至少要增加到u+2π,函数y=
2sinu(u∈R)的值才能重复取得。
又u+2π=3x−$\frac{H}{6}$+2π=3(x+$\frac{21}{3}${−$\frac{H}{6}$,
∴自变量x至少要增加到x+$\frac{2π}{3}$,函数的值
才能重复取得，
∴函数y=2sin(3x−$\frac{H}{6}$)(x∈R)的周期
为$\frac{2π}{3}$。
方法二(公式法):函数y=2sSin(3x−$\frac{H}{6}${
(x∈R)的周期T=2π =$\frac{2π}{3}$。
(2)(图像法)作出函数y=Icos2xl(x∈R)
的图像,如图7−3−1−1所示。
由图像,可得函数y=lcos2xl(x∈R)的周
期为$\frac{H}{2}$。

例1−2
求下列函数的周期。
(1)y=2siin($\frac{x}{2}$+$\frac{T}{5}${,x∈R;
0)的函数,可利用T=2来求。
[例]求函数y=cos($\frac{x}{2}$+$\frac{H}{6}$)+2sin(4x−$\frac{A}{3}${的最小正周期。
[答]∵y1=cos($\frac{x}{2}$+$\frac{H}{6}${的最小正周期T!=2π=
2
4π,y2=2sin(4x−$\frac{A}{3}$)的最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{A}{2}$,∴y=cos($\frac{x}{2}$+$\frac{H}{6}$)+2sin(4x−$\frac{H}{3}${的最小正周期T为T,T2的最小公倍数4π。
点评，设函数f(x)=f(x)+f(x)+…+卜n(x),若函数f(x)f(x),...f(x)的最小正周期分别是T,T,…,T，则T1,T2,...,T的最小公倍数是函数f(x)的最小正周期。
(3)图像法
图像法:可画出函数的图像,借助图像判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法。

答案： 对于题目中给出的函数 $y = \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) + 2\sin(4x - \frac{\pi}{3})$，
$y_1 = \cos(\frac{x}{2} + \frac{\\pi}{6})$ 的最小正周期 $T_1$
由公式 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$，得$T_1 = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$，
$y_2 = 2\sin(4x - \frac{\pi}{3})$ 的最小正周期 $T_2$
同样由公式 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$，得$T_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$，
$y = \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) + 2\sin(4x - \frac{\pi}{3})$ 的最小正周期 $T$
由于 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数为 $4\pi$，因此 $T = 4\pi$。
故答案为：$4\pi$。