《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1 如图7-1-1-10所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是。
错解 终边在射线OM上的角的集合$S_{1}=\{ \alpha |\alpha =315^{\circ }+k· 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$，终边在射线ON上的角的集合$S_{2}=\{ \alpha |\alpha =120^{\circ }+k· 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$，因此终边在图中阴影部分(含边界)的角的集合是$\{ \alpha |315^{\circ }+k· 360^{\circ }\leq \alpha \leq 120^{\circ }+k· 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$。故填$\{ \alpha |315^{\circ }+k· 360^{\circ }\leq \alpha \leq 120^{\circ }+k· 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$。
错因分析 ∠MON可以看作射线OM旋转到ON，应是从-45°到120°，其实$S_{1}$中k=-1时，$\alpha =-45^{\circ }$。
正解 终边在射线OM上的角的集合$S_{1}=\{ \alpha |\alpha =-45^{\circ }+k_{1}· 360^{\circ },k_{1}\in \mathbf{Z}\}$，终边在射线ON上的角的集合$S_{2}=\{ \alpha |\alpha =120^{\circ }+k_{2}· 360^{\circ },k_{2}\in \mathbf{Z}\}$，因此终边在图中阴影部分(含边界)的角的集合是$\{ \alpha |-45^{\circ }+k· 360^{\circ }\leq \alpha \leq 120^{\circ }+k· 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$。

答案：
答 $\{ \alpha |-45^{\circ }+k· 360^{\circ }\leq \alpha \leq 120^{\circ }+k· 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$

例2 已知α是第三象限角，则$\frac{\alpha }{3}$是第几象限角。
错解 由$180^{\circ }＜\alpha ＜270^{\circ }$，有$60^{\circ }＜\frac{\alpha }{3}＜90^{\circ }$，∴$\frac{\alpha }{3}$是第一象限角。
错因分析 对象限角、区间角的概念理解不透彻，仅以$180^{\circ }＜\alpha ＜270^{\circ }$表示第三象限角，忽视了$k· 360^{\circ }$的几何意义，用k=0代表了$k\in \mathbf{Z}$。
正解 由α是第三象限角，有$k· 360^{\circ }+180^{\circ }＜\alpha ＜k· 360^{\circ }+270^{\circ },k\in \mathbf{Z}$，∴$k· 120^{\circ }+60^{\circ }＜\frac{\alpha }{3}＜k· 120^{\circ }+90^{\circ },k\in \mathbf{Z}$。①当$k=3n,n\in \mathbf{Z}$时，$n· 360^{\circ }+60^{\circ }＜\frac{\alpha }{3}＜n· 360^{\circ }+90^{\circ }(n\in \mathbf{Z})$，$\frac{\alpha }{3}$是第一象限角。②当$k=3n+1,n\in \mathbf{Z}$时，$n· 360^{\circ }+180^{\circ }＜\frac{\alpha }{3}＜n· 360^{\circ }+210^{\circ }(n\in \mathbf{Z})$，$\frac{\alpha }{3}$是第三象限角。③当$k=3n+2,n\in \mathbf{Z}$时，$n· 360^{\circ }+300^{\circ }＜\frac{\alpha }{3}＜n· 360^{\circ }+330^{\circ }(n\in \mathbf{Z})$，$\frac{\alpha }{3}$是第四象限角。综上所述，$\frac{\alpha }{3}$是第一或第三或第四象限角。

答案： 因为α是第三象限角，所以$k·360^{\circ}+180^{\circ}＜\alpha＜k·360^{\circ}+270^{\circ}$，$k\in\mathbf{Z}$。
两边同除以3，得$k·120^{\circ}+60^{\circ}＜\frac{\alpha}{3}＜k·120^{\circ}+90^{\circ}$，$k\in\mathbf{Z}$。
当$k = 3n$，$n\in\mathbf{Z}$时，$n·360^{\circ}+60^{\circ}＜\frac{\alpha}{3}＜n·360^{\circ}+90^{\circ}$，$\frac{\alpha}{3}$是第一象限角；
当$k = 3n + 1$，$n\in\mathbf{Z}$时，$n·360^{\circ}+180^{\circ}＜\frac{\alpha}{3}＜n·360^{\circ}+210^{\circ}$，$\frac{\alpha}{3}$是第三象限角；
当$k = 3n + 2$，$n\in\mathbf{Z}$时，$n·360^{\circ}+300^{\circ}＜\frac{\alpha}{3}＜n·360^{\circ}+330^{\circ}$，$\frac{\alpha}{3}$是第四象限角。
综上，$\frac{\alpha}{3}$是第一或第三或第四象限角。