《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1 判断下列函数的奇偶性：
（1）$f(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}$；
（2）$f(x)=x^4+2x^2$；
（3）$f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x+2|-2}$。

答案：
解 判断函数的奇偶性之前，应先求其定义域，若定义域不关于原点对称，则直接得结论：此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再判断$f(-x)$与$f(x)$的关系。
答 （1）$f(x)$的定义域为$\{2\}$，不关于原点对称，因此函数$f(x)$既不是奇函数，也不是偶函数。
（2）因为$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，又$f(-x)=(-x)^4+2(-x)^2=x^4+2x^2=f(x)$，所以$f(x)=x^4+2x^2$为偶函数。
（3）由$1-x^2≥0$，得$-1≤x≤1$。
由$|x+2|-2≠0$，得$x≠0$，且$x≠-4$。
故函数$f(x)$的定义域是$[-1,0)∪(0,1]$，关于原点对称。
因为当$x∈[-1,0)∪(0,1]$时，$x+2＞0$，所以$f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x+2|-2}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$。
因为$f(-x)=\frac{\sqrt{1-(-x)^2}}{-x}=-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=-f(x)$，所以$f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x+2|-2}$是奇函数。