《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2
已知角α的终边过点P(3a-9, a+2), 且 $\cos \alpha \leq 0, \sin \alpha ＞ 0$, 则实数a的取值范围是。
错解 ∵ $\cos \alpha \leq 0$, ∴ α为第二或第三象限角。
∵ $\sin \alpha ＞ 0$, ∴ α为第一或第二象限角, ∴ 点P在第二象限, ∴ $\begin{cases} 3a - 9 ＜ 0 \\ a + 2 ＞ 0 \end{cases}$, ∴ $-2 ＜ a ＜ 3$, ∴ 实数a的取值范围是(-2,3)。
错因分析 $\cos \alpha \leq 0$, α除在第二或第三象限外, 还可能在y轴或x轴的负半轴上, 这一点没考虑到。
正解 方法一: ∵ $\cos \alpha \leq 0$, ∴ α的终边在第二或第三象限, 或y轴, 或x轴的负半轴上。
∵ $\sin \alpha ＞ 0$, ∴ α的终边在第一或第二象限, 或y轴的正半轴上, ∴ 点P在第二象限或y轴的正半轴上, ∴ $\begin{cases} 3a - 9 \leq 0 \\ a + 2 ＞ 0 \end{cases}$, ∴ $-2 ＜ a \leq 3$, ∴ 实数a的取值范围是(-2,3]。
方法二: 由三角函数的定义可知, $\cos \alpha = \frac{3a - 9}{r} \leq 0, \sin \alpha = \frac{a + 2}{r} ＞ 0$, ∴ $\begin{cases} 3a - 9 \leq 0 \\ a + 2 ＞ 0 \end{cases}$, ∴ $-2 ＜ a \leq 3$, ∴ 实数a的取值范围是(-2,3]。

答案： 答 (-2,3]

例1 2021·北京高考
若 $P(\cos \theta, \sin \theta)$ 与 $Q\left(\cos \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right), \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)\right)$ 关于y轴对称, 写出一个θ的值。

答案： 解
∵ $P(\cos \theta, \sin \theta)$ 与 $Q\left(\cos \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right), \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)\right)$ 关于y轴对称, 即角 $\theta, \theta + \frac{\pi}{6}$ 的终边关于y轴对称,
∴ $\theta + \frac{\pi}{6} + \theta = \pi + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}$, 得 $\theta = k\pi + \frac{5\pi}{12}, k \in \mathbf{Z}$, 当k=0时, 可取θ的一个值为 $\frac{5\pi}{12}$。
答 $\frac{5\pi}{12}$ (答案不唯一)