《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

1. (2024·湖南长郡中学期中·知识点1)下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是减函数的是()。

A.$f(x)=-x-x^3$
B.$f(x)=1-x$
C.$f(x)=-\frac{3}{x}$
D.$f(x)=\frac{x-x^2}{1-x}$

答案： A

2. (2024·重庆一中期中·知识点1)若函数$f(x)(f(x)≠0)$为奇函数，则必有()。

A.$f(x)·f(-x)＞0$
B.$f(x)·f(-x)＜0$
C.$f(x)＜f(-x)$
D.$f(x)＞f(-x)$

答案： B

3. (知识点1)已知$f(x)=ax^3+bx+1(ab≠0)$。若$f(2018)=k$，则$f(-2018)=$()。

A.$k$
B.$-k$
C.$1-k$
D.$2-k$

答案： D

4. (2024·广东佛山一中期中·知识点2)函数$f(x)=\frac{x-x^3}{x^2+1}$的大致图像是()。

答案： A

5. (2024·江苏扬中高级中学高一期中·知识点1,2)已知函数$f(x)$同时满足下面两个条件：①定义在$\mathbf{R}$上的偶函数；②值域为$[1,+∞)$。请写出一个符合条件的$f(x)$的解析式：。

答案： $f(x)=x^2 + 1$

6. （2024·海南中学月考·知识点1）判断下列函数的奇偶性：
（1）$f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{|x+3|-3}$；
（2）$f(x)=(x-1)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$；
（3）$f(x)=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2-1}$；
（4）$f(x)=\begin{cases} x^2-2x+3,x＞0 \\ 0,x=0, \\ -x^2-2x-3,x＜0 \end{cases}$

答案： （1）
首先求定义域：
由$4 - x^2 \geq 0$，得$-2 \leq x \leq 2$。
由$|x + 3| - 3 \neq 0$，得$x \neq 0$且$x \neq -6$，结合前条件得定义域为$[-2, 0) \cup (0, 2]$。
化简函数：
当$x \in [-2, 0) \cup (0, 2]$时，$|x + 3| = x + 3$，故$f(x) = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}$。
判断奇偶性：
$f(-x) = \frac{\sqrt{4 - (-x)^2}}{-x} = -\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x} = -f(x)$。
结论：奇函数。
（2）
首先求定义域：
由$\frac{1 + x}{1 - x} \geq 0$，得$-1 \leq x ＜ 1$。
判断奇偶性：
$f(1)$无定义（不关于原点对称），且$f(-x) = (-x - 1)\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} \neq \pm f(x)$。
结论：非奇非偶函数。
（3）
首先求定义域：
由$1 - x^2 \geq 0$和$x^2 - 1 \geq 0$，得$x = \pm 1$，定义域为$\{-1, 1\}$。
化简函数：
$f(1) = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$，$f(-1) = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$。
判断奇偶性：
$f(-x) = f(x) = 0$且$f(-x) = -f(x) = 0$。
结论：既是奇函数又是偶函数。
（4）
判断奇偶性：
当$x ＞ 0$时，$-x ＜ 0$，$f(-x) = -x^2 + 2x - 3 = -(x^2 - 2x + 3) = -f(x)$。
当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，$f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) + 3 = x^2 + 2x + 3 = -(-x^2 - 2x - 3) = -f(x)$。
$f(0) = 0$满足$f(-x) = -f(x)$。
结论：奇函数。

1. (2024·江西吉安期中·能力点3)已知奇函数$f(x)$的图像关于点$(1,0)$对称，$f(3)=2$，则$f(1)=$()。

A.$-1$
B.$2$
C.$3$
D.$5$

答案： B

2. (能力点1)已知函数$y=f(x)$与$y=g(x)$有相同的定义域，且对定义域中的任意$x$，有$f(-x)+f(x)=0$，$g(x)·g(-x)=1$，$g(x)≠1$，则函数$F(x)=\frac{2f(x)}{g(x)-1}+f(x)$()。

A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数

答案： B

3. (能力点5)已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(x-4)=-f(x)$，且在区间$[0,2]$上单调递增，则()。

A.$f(-1)＜f(3)＜f(4)$
B.$f(4)＜f(3)＜f(-1)$
C.$f(3)＜f(4)＜f(-1)$
D.$f(-1)＜f(4)＜f(3)$

答案： D