《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1
(1)10g27x=−$\frac{2}{3}$;(2)1ogx16=−4;
(3)1g$\frac{1}{1000}$=x;(4)−1ne−3=x。
答(1)因为1og27x=−$\frac{2}{3}$,
所以x=27−=(3²)−=3−2=$\frac{1}{9}$。
(2)因为1ogx16=−4,所以x−4=16,即
x−=二($\frac{1}{2}$) ,所以x=$\frac{1}{2}$。
(3)因为lg$\frac{1}{1000}$=x,
所以10=10−3,所以x=−3。
(4)因为−1ne−3=x,所以−x=hne−3,
即e−=e−3,所以x=3。
[问题质疑]为什么规定a＞0,a≠1呢？
[提示](1)若a＜0,则当IV为某些值时,b
的值不存在,如b=1og(−2)8不存在。
(2)若a=0,则
①当N≠0时,b的值不存在,如1ogo3(可理
解为0的多少次幂是3)不存在;
②当N=0时,b可以是除零以外的任意实
(3)对数式与指数式的关系:
指数式ab=N和对数式log。N=b(N＞0,a＞0,,α≠1)是同一种数量关系的两种不同表达式。

表达式 a[6N 对应的运算
db=N 底数指数幂 乘方,由a,b求N
logN=b底数对数真数 对数,由N,a求b
由此可见,对数运算是乘方运算的逆运算。

答案：
(1)
由$\log_{27}x = -\frac{2}{3}$，根据对数式与指数式的关系可得$x = 27^{-\frac{2}{3}}$。
因为$27 = 3^3$，所以$x=(3^3)^{-\frac{2}{3}}=3^{-2}=\frac{1}{9}$。
(2)
由$\log_{x}16 = - 4$，根据对数式与指数式的关系可得$x^{-4}=16$，即$(\frac{1}{x})^{4}=16$。
因为$x＞0$且$x\neq1$，所以$\frac{1}{x}=2$，解得$x = \frac{1}{2}$。
(3)
由$\lg\frac{1}{1000}=x$，因为$\lg$是以$10$为底的对数，根据对数式与指数式的关系可得$10^{x}=\frac{1}{1000}=10^{-3}$，所以$x = - 3$。
(4)
由$-\ln e^{-3}=x$，因为$\ln$是以$e$为底的对数，根据对数式与指数式的关系可得$e^{-x}=e^{-3}$，所以$-x = - 3$，即$x = 3$。