《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3
函数$ y=f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的奇函数，当$ x\geq0 $时，$ f(x)=2x-x^2 $。
(1)求$ x＜0 $时$ f(x) $的解析式；
(2)问是否存在这样的正数$ a,b $，当$ x\in[a,b] $时，$ f(x) $的值域为$ \left[ \frac{1}{b},\frac{1}{a} \right] $？若存在，求出所有的$ a,b $的值；若不存在，说明理由。

答案： 答
(1)当$ x＜0 $时，$ -x＞0 $，
$ \therefore f(-x)=2(-x)-(-x)^2=-2x-x^2 $。
$ \because $函数$ y=f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的奇函数，
$ \therefore f(x)=-f(-x)=x^2+2x $。
(2)$ \because $当$ x\geq0 $时，$ f(x)=-(x-1)^2+1\leq1 $，
若存在这样的正数$ a,b $，则当$ x\in[a,b] $时，$ f(x)_{\max}=\frac{1}{a}\leq1\Rightarrow a\geq1 $，$ \therefore f(x) $在$ [a,b] $内单调递减，$ \therefore \begin{cases} \frac{1}{b}=f(b)=-b^2+2b, \\ \frac{1}{a}=f(a)=-a^2+2a \end{cases} \Rightarrow a,b $是方程$ x^3-2x^2+1=0 $的两个正根。
$ \because x^3-2x^2+1=(x-1)(x^2-x-1)=0 $，
$ \therefore x_1=1 $，$ x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $，$ x_3=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $（舍去），
$ \therefore a=1 $，$ b=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $。

例4-1
求函数$ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x-1},x＜0, \\ x,0\leq x＜1, \\ 2,1\leq x\leq2 \end{cases} $的定义域和值域。

答案： 答 函数的定义域为$ (-\infty,0)\cup[0,1)\cup[1,2]=(-\infty,2] $。
当$ x＜0 $时，$ x-1＜-1 $，所以$ -1＜\frac{1}{x-1}＜0 $，即$ -1＜f(x)＜0 $；
当$ 0\leq x＜1 $时，$ 0\leq f(x)＜1 $；
当$ 1\leq x\leq2 $时，$ f(x)=2 $。
故函数$ f(x) $的值域为$ \{y|-1＜y＜1 $或$ y=2\} $。

例4-2 2024·福建福州一中月考
已知函数$ f(x)=\begin{cases}f(x-1),x＞0, \\ -\ln(x+e)+2,x\leq0,\end{cases}$则$ f(2022) $的值为( )。

A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 解 因为$ f(x)=\begin{cases} f(x-1),x＞0, \\ -\ln(x+e)+2,x\leq0, \end{cases} $
所以$ f(2022)=f(2021)=f(2020)=·s=f(1)=f(0) $。又$ f(0)=-\ln(0+e)+2=-1+2=1 $，所以$ f(2022)=1 $，故选C。
答 C

例4-3
如图5-1所示，已知函数$ y=f(x) $的图像是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成的，求此函数解析式。

答案：
答 设左侧的射线对应的函数解析式为$ y=kx+b $，$ x\leq1 $。
$ \because $点$ (1,1) $，$ (0,2) $在射线上，
$ \therefore \begin{cases} k+b=1, \\ b=2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k=-1, \\ b=2 \end{cases} $。
$ \therefore $左侧射线对应的函数解析式为$ y=-x+2 $，$ x\leq1 $。同理，当$ x\geq3 $时，函数的解析式为$ y=x-2 $，$ x\geq3 $。
设抛物线对应的二次函数的解析式为$ y=a(x-2)^2+2 $，$ a＜0 $。
$ \because $点$ (1,1) $在抛物线上，$ \therefore a+2=1 $，即$ a=-1 $。
$ \therefore $当$ 1＜x＜3 $时，函数的解析式为$ y=-x^2+4x-2 $，$ 1＜x＜3 $。
综上，函数的解析式为$ f(x)=\begin{cases} -x+2,x\leq1, \\ -x^2+4x-2,1＜x＜3, \\ x-2,x\geq3 \end{cases} $。