《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-2 2024·陕西延安期中
若正数$x,y$满足$x+3y=5xy$，则$3x+4y$的最小值是。

答案： 解 方法一(“1”的代换)：由条件得$\frac {3}{x}+\frac {1}{y}=5$，则$3x+4y=\frac {1}{5}(\frac {3}{x}+\frac {1}{y})(3x+4y)=\frac {1}{5}(9+4+\frac {12y}{x}+\frac {3x}{y})\geqslant \frac {1}{5}(13+2\sqrt {\frac {12y}{x}· \frac {3x}{y}})=5$，当且仅当$\frac {12y}{x}=\frac {3x}{y}$，$x+3y=5xy$，即$x=1$，$y=\frac {1}{2}$时取等号。故$3x+4y$的最小值为5。
方法二(消元法)：由条件得$y=\frac {x}{5x-3}$，由$x＞0,y＞0$知$x＞\frac {3}{5}$，从而$3x+4y=3x+\frac {4x}{5x-3}=3x+\frac {4(x-\frac {3}{5})+\frac {12}{5}}{5(x-\frac {3}{5})}=3(x-\frac {3}{5})+\frac {12}{25(x-\frac {3}{5})}+\frac {13}{5}\geqslant 2\sqrt {\frac {36}{25}}+\frac {13}{5}=5$，当且仅当$3(x-\frac {3}{5})=\frac {12}{25(x-\frac {3}{5})}$，$y=\frac {x}{5x-3}$，即$x=1$，$y=\frac {1}{2}$时取等号。故$3x+4y$的最小值为5。
答 5