《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例5−2
若三个方程x²−ax+4=0,x²+(a−1)x+16=0和x²+2ax+3a+10=0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。
解若采用直接法求解，分三个方程有且只有一个方程有实根;三个方程中有且只有两个方程有实根;三个方程均有实根，此思路
需分7种情况讨论，解题过程太复杂。若用间接法，可采用补集思想完成。

答案： 三个方程至少有一个方程有实根的补集为三个方程都无实根。
三个方程无实根的条件分别为：
对于方程 $x^2 - ax + 4 = 0$，
$\Delta_1 = a^2 - 16 ＜ 0 \implies -4 ＜ a ＜ 4$。
对于方程 $x^2 + (a-1)x + 16 = 0$，
$\Delta_2 = (a-1)^2 - 64 ＜ 0 \implies -7 ＜ a ＜ 9$。
对于方程 $x^2 + 2ax + 3a + 10 = 0$，
$\Delta_3 = 4a^2 - 4(3a+10) ＜ 0 \implies -2 ＜ a ＜ 5$。
取交集得三个方程都无实根时 $a$ 的取值范围：
$\max(-4, -7, -2) ＜ a ＜ \min(4, 9, 5) \implies -2 ＜ a ＜ 4$，取其补集，即至少有一个方程有实根时 $a$ 的取值范围：
$a \leq -2 \quad 或 \quad a \geq 4$。
答：$a\in (-\infty,-2]\cup [4,+\infty )$。