《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

7.(能力点3,4)设集合A={x|−2≤x≤5}，
B={xlm+1≤x≤2m−1}。
(1)若BCA,求实数m的取值范围;
(2)当集合A中的x∈Z时,求集合A的非空真子集的个数;
(3)若B≠Q,且不存在元素x,使得x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围。

答案：
(1) $ (-\infty, 3] $；
(2) $ 254 $；
(3) $ (4, +\infty) $

8.(2024.山西忻州月考.能力点1)设集合A是正实数集的非空子集,称集合B={zlz=xy,x∈A,y∈A且x≠y}为集合A的孪生集。
(1)当A={2,5,7}时,写出集合A的孪生集B;
(2)若A是由5个正实数构成的集合,求其孪生集B的子集个数的最小值;
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A,使其孪生集B={6,8,14,16,21,24},并说明理由。

答案：
(1)
当$A = \{ 2,5,7\}$时，根据孪生集$B=\{z|z = xy,x\in A,y\in A$且$x\neq y\}$，
当$x = 2,y = 5$时，$z=2×5 = 10$；
当$x = 2,y = 7$时，$z=2×7 = 14$；
当$x = 5,y = 2$时，$z=5×2 = 10$（与前面重复舍去）；
当$x = 5,y = 7$时，$z=5×7 = 35$；
当$x = 7,y = 2$时，$z=7×2 = 14$（与前面重复舍去）；
当$x = 7,y = 5$时，$z=7×5 = 35$（与前面重复舍去）。
所以$B=\{10,14,35\}$。
(2)
设$A=\{a,b,c,d,e\}$，$a,b,c,d,e$为$5$个正实数。
从$A$中任取两个不同元素乘积得到$B$中元素，$B$中元素个数最少即重复情况最多。
当这$5$个正实数构成等比数列时，设$A = \{a,aq,aq^{2},aq^{3},aq^{4}\}(q\gt0,q\neq1)$，
$a× aq^{4}=a^{2}q^{4}$，$aq× aq^{3}=a^{2}q^{4}$，$a× aq^{3}$与$aq× aq^{2}$等会有重复情况。
从$5$个元素中选$2$个不同元素的组合数$C_{5}^2=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5×4}{2×1}=10$，
由于存在重复情况，当$5$个数成等比数列时，$B$中元素个数最少为$7$个。
一个集合有$n$个元素，它的子集个数为$2^{n}$，所以$B$的子集个数的最小值为$2^{7}=128$。
(3)
不存在。
假设存在$4$个正实数构成的集合$A=\{a,b,c,d\}$，其孪生集$B = \{ 6,8,14,16,21,24\}$。
$A$中任取两个不同元素乘积得到$B$中元素，$C_{4}^2=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=6$，即$B$中应有$6$个元素。
设$a\lt b\lt c\lt d$，则$ab\lt ac\lt ad,bc\lt bd,cd$，且$ab$是$B$中最小的数，$cd$是$B$中最大的数。
所以$ab = 6$，$cd=24$，$ac = 8$，$bd = 21$（或$ac = 14$，$bd = 16$等情况讨论）。
若$\begin{cases}ab = 6\\ac = 8\\bd = 21\\cd = 24\end{cases}$，
由$ab = 6$得$b=\frac{6}{a}$，由$ac = 8$得$c=\frac{8}{a}$，
由$cd = 24$得$d=\frac{24}{c}=\frac{24a}{8}=3a$，
代入$bd = 21$得$\frac{6}{a}×3a = 18\neq21$，矛盾。
若$\begin{cases}ab = 6\\ac = 14\\bd = 16\\cd = 24\end{cases}$，
由$ab = 6$得$b=\frac{6}{a}$，由$ac = 14$得$c=\frac{14}{a}$，
由$cd = 24$得$d=\frac{24}{c}=\frac{24a}{14}=\frac{12a}{7}$，
代入$bd = 16$得$\frac{6}{a}×\frac{12a}{7}=\frac{72}{7}\neq16$，矛盾。
所以不存在$4$个正实数构成的集合$A$，使其孪生集$B=\{6,8,14,16,21,24\}$。
综上，答案依次为：
(1)$B = \{ 10,14,35\}$；
(2)$128$；
(3)不存在。