《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3 2024·湖南雅礼中学期中
已知函数$f(x)=|x-2|(x+1)$，判断关于$x$的方程$|x-2|(x+1)=a$的解的个数。

答案：
答 由题意得$f(x)=\begin{cases}x^2-x-2,x\geqslant2,\\-x^2+x+2,x＜2。\end{cases}$作出函数$f(x)$的图像及直线$y=a$，如图5-2-7所示。
关于$x$的方程$|x-2|(x+1)=a$的解的个数就是直线$y=a$与函数$y=|x-2|(x+1)$的图像的交点的个数。由图可知，当$a＜0$时，有一个交点；当$a=0$时，有两个交点；当$0＜a＜\frac{9}{4}$时，有三个交点；当$a=\frac{9}{4}$时，有两个交点；当$a＞\frac{9}{4}$时，有一个交点。综上，当$a＜0$或$a＞\frac{9}{4}$时，方程有一个解；当$a=0$或$a=\frac{9}{4}$时，方程有两个解；当$0＜a＜\frac{9}{4}$时，方程有三个解。