《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1−3
已知α=1200°。
(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)
的形式,并指出α是第几象限的角;
(2)在区间[−4π,π]上找出与角α终边相
同的角。
答(1)因为α=1200°=1200×$\frac{H}{180}$=
$\frac{20π}{3}$=$\frac{2π}{3}$+6π。又$\frac{H}{2}$＜$\frac{2}{3}$＜π,所以角α与
角$\frac{2π}{3}$的终边相同，所以角α是第二象限
的角。
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在
内)为2kπ+$\frac{2π}{3}$,h∈Z,所以由−4π≤2kπ+
$\frac{2π}{3}$≤π,得−$\frac{7}{3}$≤k≤$\frac{1}{6}$。因为k∈Z,所以
k=−2或k=−1或k=0。故在区间
[−4π,π]上与角α终边相同的角是−$\frac{10π}{3}$,
−$\frac{4π}{3}$,$\frac{2π}{3}$。

答案：
(1) α=1200°=1200×$\frac{π}{180}$=$\frac{20π}{3}$=$\frac{2π}{3}$+6π，其中β=$\frac{2π}{3}$，k=3∈Z，0≤$\frac{2π}{3}$＜2π。因为$\frac{2π}{3}$是第二象限角，所以α是第二象限角。
(2) 与α终边相同的角为2kπ+$\frac{2π}{3}$(k∈Z)，由-4π≤2kπ+$\frac{2π}{3}$≤π，得-$\frac{7}{3}$≤k≤$\frac{1}{6}$。因为k∈Z，所以k=-2,-1,0。当k=-2时，角为-$\frac{10π}{3}$；k=-1时，角为-$\frac{4π}{3}$；k=0时，角为$\frac{2π}{3}$。故在区间[-4π,π]上的角是-$\frac{10π}{3}$,-$\frac{4π}{3}$,$\frac{2π}{3}$。

例1−4
已知集合A=|α12kπ＜α＜(2k+1)π,k∈
Z|,B=|αl−5≤α≤5},求A∩B。
解首先考虑B表示的是−5rad到5rad的角,对于集合A,当k=0,1,−1,2,−2,...时，就得到它的无数个子集，在数轴上标出，从而可求出交集。
答∵A=|10＜α＜π|U|α12π＜α＜
3π}u|α|−2π＜α＜−π}u...,在数轴上是无数个区间,且B=|α|−5≤α≤5},在数轴上表示如图7−1−2−4所示，
为终边的角,而−135°=−135×$\frac{H}{180}$=−$\frac{3π}{4}$
135°=$\frac{3π}{4}$,所以终边在阴影部分(不包括边界)
内的角的集合为{α|−$\frac{3π}{4}$+2kπ＜α＜$\frac{3π}{4}$+2kπ,k∈z}。

答案： 集合 $A$ 表示的区间为：
$A = \{ \alpha \mid 2k\pi ＜ \alpha ＜ (2k+1)\pi, k \in \mathbb{Z} \}$。
当 $k = 0$ 时，$0 ＜ \alpha ＜ \pi$。
当 $k = 1$ 时，$2\pi ＜ \alpha ＜ 3\pi$。
当 $k = -1$ 时，$-2\pi ＜ \alpha ＜ -\pi$。
当 $k = -2$ 时，$-4\pi ＜ \alpha ＜ -3\pi$。
集合 $B$ 表示的区间为：
$B = \{ \alpha \mid -5 \leq \alpha \leq 5 \}$。
求交集 $A \cap B$：
考虑 $k$ 的取值，使得区间 $2k\pi ＜ \alpha ＜ (2k+1)\pi$ 与 $-5 \leq \alpha \leq 5$ 有交集。
当 $k = 0$ 时，交集为 $0 ＜ \alpha ＜ \pi$（因为 $\pi \approx 3.14 ＜ 5$）。
当 $k = -1$ 时，交集为 $-5 \leq \alpha ＜ -\pi$（因为 $-2\pi \approx -6.28 ＜ -5$，所以取 $-5 \leq \alpha ＜ -\pi$）。
当 $k = 1$ 或 $k = -2$ 等其他值时，区间与 $B$ 无交集。
因此，$A \cap B = \{ \alpha \mid -5 \leq \alpha ＜ -\pi 或 0 ＜ \alpha ＜ \pi \}$。