《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1 2024·北京四中期中

答案： 解关于 $x$ 的不等式 $ax^2 - (a + 1)x + 1 ＜ 0$。
答 二次项系数含参数分以下情况讨论:
(1) 当 $a = 0$ 时, 原不等式化为 $-x + 1 ＜ 0$, $\therefore x ＞ 1$。
(2) 当 $a \neq 0$ 时, 原不等式化为 $(ax - 1)(x - 1) ＜ 0$。(*) ① 当 $a ＜ 0$ 时, (*) 式化为 $\left(x - \frac{1}{a}\right)(x - 1) ＞ 0$, $\therefore \frac{1}{a} ＜ 1$, 解得 $x ＜ \frac{1}{a}$ 或 $x ＞ 1$。② 当 $a ＞ 0$ 时, (*) 式变为 $\left(x - \frac{1}{a}\right)(x - 1) ＜ 0$。(

) $\because \frac{1}{a} - 1 = \frac{1 - a}{a}$, $\therefore$ 当 $0 ＜ a ＜ 1$ 时, $\frac{1}{a} ＞ 1$, 此时 (

) 的解集为 $\left\{x \left| 1 ＜ x ＜ \frac{1}{a}\right.\right\}$; 当 $a = 1$ 时, $\frac{1}{a} = 1$, 此时 (

) 的解集为 $\varnothing$; 当 $a ＞ 1$ 时, $\frac{1}{a} ＜ 1$, 此时 (

) 的解集为 $\left\{x \left| \frac{1}{a} ＜ x ＜ 1\right.\right\}$。综上, 当 $a ＜ 0$ 时, 不等式的解集为 $\left\{x \left| x ＜ \frac{1}{a} 或 x ＞ 1\right.\right\}$; 当
【答】方程 $x^2 + (1 - a)x - a = 0$ 的解为 $x_1 = -1, x_2 = a$, 又函数 $y = x^2 + (1 - a)x - a$ 的图像开口向上, 则当 $a ＜ -1$ 时, 原不等式解集为 $\{x | a ＜ x ＜ -1\}$; 当 $a = -1$ 时, 原不等式解集为 $\varnothing$; 当 $a ＞ -1$ 时, 原不等式解集为 $\{x | -1 ＜ x ＜ a\}$。