《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1−1|
判断下列命题的真假:
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对
(x,y)都对应一点P;
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来
表示;
(3)至少有一个直角三角形不是等腰三
角形;
(4)存在一个实数x,使得方程x²+x+8=0
成立;
(5)3x∈R,x²−3x+2=0;
(6)Ax,y∈Z,(x−y)²=x²−2xy+y²。
答首先理解题意，区分出全称量词命题和
存在量词命题,再结合数学的相关知识进行
判断。
(1)是真命题。
(2)是假命题，如边长为1的正方形,对角线
长度为√2,就不能用正有理数表示。
(3)是真命题，如有一个内角为30°的直角
三角形就不是等腰三角形。
(4)是假命题,方程x²+x+8=0的判别式
A=−31＜0,故方程无实数根。
(5)是真命题,x=2或x=1,都能使x²−
3x+2=0成立。
(6)是真命题，因为完全平方公式对任意实
(5)有些全称量词命题、存在量词命题没有明确的量词,需要自己“翻译”,发现其中的量词,才可以加以判断其是全称量词命题还是存在量词命题,进而再判断其真假。
(6)真假判断思维导图:
能力点2已知全称(存在)量词命题的真假求参数的方法
(1)全称量词命题求参的问题,常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语。解决此类问题时，可构造函数,利用数形结合求参数范围,也可用分离参数法求参数范围。
(2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语,对于此类问题,通常是假设存在满足条件的参数,然后利用条件求参数范围,若能求出参数范围,则假设成立;反之,假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。
方法总结
此类题目首先要明确命题所属类型,若直接
入手容易出错或比较困难，可从其否定形式
入手，进而转化为不等式“恒成立”或“有解”
问题,然后取其补集即可。
[拓展]
对于式子ax²+bx+c＞0或ax²+bx+c＜0恒成立有如下结论:(可结合初中所学二次函数图像来思考)
不等式ax²+bx+c＞0的解是全体实数(或恒成
数都成立,所以对整数也成立。

答案：
(1)真命题。根据平面直角坐标系的定义，任意有序实数对$(x,y)$都对应平面内一点$P$。
(2)假命题。例如，边长为$1$的正方形，其对角线长度为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$不能表示为正有理数。
(3)真命题。例如，一个内角为$30^{\circ}$的直角三角形，不是等腰三角形。
(4)假命题。方程$x^{2}+x+8 = 0$的判别式$\Delta=1^{2}-4×8=-31\lt0$，所以方程无实数根。
(5)真命题。当$x = 1$或$x = 2$时，$x^{2}-3x + 2=0$成立。
(6)真命题。根据完全平方公式$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$对任意实数$x,y\in Z$都成立。