《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-3 2024·天津南开中学期末
设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且$y=f(x)$的图像关于直线$x=\frac{1}{2}$对称，则$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=$。

答案： 解
∵$f(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数，
∴$f(0)=0$。
∵$f(x)$的图像关于直线$x=\frac{1}{2}$对称，
∴$f(x)=f(1-x)$，
∴$f(1)=f(0)=0$，$f(2)=f(-1)=-f(1)=0$，$f(3)=f(-2)=-f(2)=0$，$f(4)=f(-3)=-f(3)=0$，$f(5)=f(-4)=-f(4)=0$，从而$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0$。
答 0

例5-1 2024·广东珠海高一期末
已知$f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，在$(-∞,0)$上单调递增，且$f(2)=0$，则下列不等式成立的是()。

A.$0＜f(1)＜f(5)＜f(-3)$
B.$f(5)＜f(-3)＜0＜f(1)$
C.$f(-3)＜f(-1)＜0＜f(1)$
D.$f(-3)＜0＜f(1)＜f(5)$

答案： 解 因为$f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，在$(-∞,0)$上单调递增，所以$f(x)$在$(0,+∞)$上单调递减，$f(-3)=f(3)$，$f(-1)=f(1)$。又$f(2)=0$，$1＜2＜3＜5$，$f(x)$在$(0,+∞)$上单调递减，所以$f(1)＞f(2)＞f(3)＞f(5)$，即$f(5)＜f(-3)＜0＜f(1)$。故选B。
答 B

例5-2 （1）已知函数$y=f(x)$在定义域$[-1,1]$上既是奇函数，又是减函数，若$f(1-a^2)+f(1-a)＜0$，求实数$a$的取值范围；
（2）定义在$[-2,2]$上的偶函数$f(x)$在区间$[0,2]$上单调递减，若$f(1-m)＜f(m)$，求实数$m$的取值范围。

答案： 答 （1）由$f(x)$是奇函数，得$f(1-a^2)＜-f(1-a)=f(a-1)$。
又
∵$f(x)$在$[-1,1]$上单调递减，
∴$\begin{cases} -1≤1-a^2≤1, \\ -1≤a-1≤1, \\ 1-a^2＞a-1, \end{cases}$解得$0≤a＜1$。
∴实数$a$的取值范围是$[0,1)$。
（2）
∵函数$f(x)$是偶函数，
∴$f(x)=f(|x|)$。
∴$f(1-m)=f(|1-m|)$，$f(m)=f(|m|)$。
∴原不等式等价于$\begin{cases} -2≤1-m≤2, \\ -2≤m≤2, \\ |1-m|＞|m|, \end{cases}$