《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2-2
若α是第二象限角，试确定$2\alpha ,\frac{\alpha }{3}$是第几象限角。

答案： 答 因为α是第二象限角，所以$90^{\circ }+k· 360^{\circ }＜\alpha ＜180^{\circ }+k· 360^{\circ }(k\in \mathbf{Z})$，则
（1）$180^{\circ }+2k· 360^{\circ }＜2\alpha ＜360^{\circ }+2k· 360^{\circ }(k\in \mathbf{Z})$，所以$2\alpha$可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角。
（2）$k· 120^{\circ }+30^{\circ }＜\frac{\alpha }{3}＜k· 120^{\circ }+60^{\circ }(k\in \mathbf{Z})$，当$k=3n(n\in \mathbf{Z})$时，$n· 360^{\circ }+30^{\circ }＜\frac{\alpha }{3}＜n· 360^{\circ }+60^{\circ }(n\in \mathbf{Z})$，此时，$\frac{\alpha }{3}$是第一象限角；当$k=3n+1(n\in \mathbf{Z})$时，$n· 360^{\circ }+150^{\circ }＜\frac{\alpha }{3}＜n· 360^{\circ }+180^{\circ }(n\in \mathbf{Z})$，此时，$\frac{\alpha }{3}$是第二象限角；当$k=3n+2(n\in \mathbf{Z})$时，$n· 360^{\circ }+270^{\circ }＜\frac{\alpha }{3}＜n· 360^{\circ }+300^{\circ }(n\in \mathbf{Z})$，此时，$\frac{\alpha }{3}$是第四象限角。
综上所述，$\frac{\alpha }{3}$可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角。

例3
已知集合$M=\{ x|x=k· 90^{\circ }+45^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$，$N=\{ x|x=k· 45^{\circ }+90^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$，则()。

A.M=N
B.$M\subsetneqq N$
C.$N\subsetneqq M$
D.$M\cap N=\varnothing$

答案： 解 方法一(列举法)：分别取$k=·s,-1,0,1,2,·s$，得$M=\{·s,-45^{\circ },45^{\circ },135^{\circ },225^{\circ },315^{\circ },·s\}$，$N=\{·s,45^{\circ },90^{\circ },135^{\circ },180^{\circ },225^{\circ },270^{\circ },315^{\circ },·s\}$。N中的元素如90°∉M，
∴$M\subsetneqq N$。故选B。
方法二(整数分类法)：将集合M,N变形，则$M=\{ x|x=(2k+1)· 45^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$，$N=\{ x|x=(k+2)· 45^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$。比较两集合，知前者是奇数乘以45°，后者是整数乘以45°，再根据整数分类关系，得$M\subsetneqq N$。故选B。
方法三(定义法)：设$x_{0}\in M$，$x_{0}=k_{0}· 90^{\circ }+45^{\circ }=(2k_{0}-1)· 45^{\circ }+90^{\circ }=k'· 45^{\circ }+90^{\circ }(k'=2k_{0}-1)$，由$k_{0}\in \mathbf{Z}$，知$k'\in \mathbf{Z}$。从而$x_{0}\in N$，故$M\subseteq N$。又90°∈N，90°∉M，则$M\subsetneqq N$，故选B。
方法四(特值法)：由90°∈N，90°∉M，可排除A,C。又知45°∈N，且45°∈M，再排除D。故选B。
答 B

变式
2 设集合$A=\{ \alpha |\alpha =k· 180^{\circ }+90^{\circ },k\in \mathbf{Z}\} \cup \{ \alpha |\alpha =k· 180^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$，集合$B=\{ \beta |\beta =k· 90^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$，则()。

A.$A\subsetneqq B$
B.$B\supseteq A$
C.$A\cap B=\varnothing$
D.A=B
答案见P411

答案： D