《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-2 已知$a,b$是方程$x^{2}-6x+4=0$的两个根,且$a＞b＞0$,求$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的值。

答案： 答 方法一:$\because a,b$是方程$x^{2}-6x+4=0$的两个根,$\therefore\begin{cases}a+b=6,\\ab=4。\end{cases}$
$\because a＞b＞0$,$\therefore\sqrt{a}＞\sqrt{b}$。
$\because(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}})^{2}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}=\frac{6-2\sqrt{4}}{6+2\sqrt{4}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$,$\therefore\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
方法二:易知$a+b=6$,$ab=4$,
$\therefore(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=(a+b)^{2}-4ab=36-16=20$。
$\because a＞b＞0$,$\therefore a-b=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$,
$\therefore\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{a-b}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}=\frac{6-2\sqrt{4}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

例5 2024·北京四中期中
设$a,b,c$都是正数,且$3^{a}=4^{b}=6^{c}$,求证:$\frac{2}{c}=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$。

答案： 答 令$3^{a}=4^{b}=6^{c}=t(t＞0)$,则$3=t^{\frac{1}{a}}$,$2=t^{\frac{1}{2b}}$,$6=t^{\frac{1}{c}}$。因为$3×2=6$,所以$t^{\frac{1}{a}}· t^{\frac{1}{2b}}=t^{\frac{1}{c}}$,即$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{1}{c}$,所以$\frac{2}{c}=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$。

例1 计算$\sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^{3}}+\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^{4}}$的值为。
错解 $\sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^{3}}+\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^{4}}=1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=2$。
错因分析 $\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^{4}}$是偶次算术根,因而结果非负,而$1-\sqrt{2}\lt0$,导致出错。
正解 $\sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^{3}}+\sqrt[4]{(1-\sqrt{2})^{4}}=1+\sqrt{2}+|1-\sqrt{2}|=1+\sqrt{2}+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}$。

答案： 答 $2\sqrt{2}$