《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

① 图像的识别
图像的识别就是“看图说话”, “看图说话”的常用方法有:
(1)定性分析法: 通过对问题进行定性的分析, 从而得出图像上升(或下降)的趋势, 利用这一特征分析解决问题。
(2)定量计算法: 通过定量的计算来分析解决问题。
(3)函数模型法: 由所提供的图像的特征, 联想相关函数模型, 利用函数模型来分析解决问题。

答案： 解 定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合, 值域是函数值的集合, 依据定义域和函数的单调性求解值域。
答
(1)由题意知 $x - 4 \neq 0$, $\therefore x \neq 4$,
$\therefore$ 函数的定义域为 $(-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$。
$\because \frac{1}{x-4} \neq 0$, $\therefore 2^{\frac{1}{x-4}} \neq 1$。又 $\because 2^{\frac{1}{x-4}} ＞ 0$,
$\therefore$ 函数的值域为 $(0,1) \cup (1, +\infty)$。
(2)由题意知函数的定义域为 $\mathbb{R}$。
$\because |x| \geq 0$, $\therefore y = \left(\frac{2}{3}\right)^{-|x|} = \left(\frac{3}{2}\right)^{|x|} \geq \left(\frac{3}{2}\right)^0 = 1$, 故函数的值域为 $[1, +\infty)$。
(3)由题意知 $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x \geq 0$,
$\therefore \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^0$,
$\therefore x \geq 0$, $\therefore$ 函数的定义域为 $[0, +\infty)$。
$\because \left(\frac{1}{2}\right)^x ＞ 0$, $\therefore 0 ＜ \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1$, $\therefore 0 \leq 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x ＜ 1$, $\therefore 0 \leq \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x} ＜ 1$, 故函数的值域为 $[0,1)$。
(4)由题意知函数的定义域为 $\mathbb{R}$。
$\because x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4 \geq -4$,
$\therefore \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x - 3} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 16$。
又 $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x - 3} ＞ 0$, 故函数的值域为 $(0,16]$。

例3-1
函数 $y = 3^x, y = 5^x, y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ 在同一平面直角坐标系中的图像是()。

特别提醒
识别指数函数图像问题的注意点
(1)根据图像“上升”或“下降”确定底数 $a ＞ 1$ 或 $0 ＜ a ＜ 1$;
(2)在 $y$ 轴右侧, 指数函数的图像从下到上相应的底数由小到大; 在 $y$ 轴左侧, 指数函数的图像从下到上相应的底数由大到小;
(3)根据“左加右减, 上加下减”的原则, 确定图像的平移变换, 从而确定指数型函数的图像与两坐标轴的交点位置。
② 过定点问题
指数型函数过定点问题, 一般是先将函数进行化简, 变为最简单的指数函数, 再运用指数函数的性质来确定定点坐标。
【例】函数 $y = a^{x-2} + 1 (a ＞ 0, a \neq 1)$ 的图像过定点。
【解】方法一: 因为指数函数 $y = a^x (a ＞ 0, a \neq 1)$ 的图像过定点 $(0,1)$, 所以在函数 $y = a^{x-2} + 1$ 中, 令 $x = 2$, 得 $y = 1 + 1 = 2$, 即函数的图像过定点 $(2,2)$。
方法二: 将原函数变形, 得 $y - 1 = a^{x-2}$, 把 $y - 1$ 看作 $x - 2$ 的指数函数, 所以当 $x - 2 = 0$ 时, $y - 1 = 1$, 即 $x = 2$ 时, $y = 2$, 所以原函数的图像过定点 $(2,2)$。

答案： 答 (2,2)