《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

4. (知识点1,2)(多选)下列命题是“∃x∈R,x²＞3”的表述方法的是()。

A.有一个x∈R，使得x²＞3成立
B.对有些x∈R，使得x²＞3成立
C.任选一个x∈R，都有x²＞3成立
D.至少有一个x∈R，使得x²＞3成立

答案： ABD

5. (2024·江苏南师附中高一上期中·能力点2)(多选)若“∃x∈M,x＜0”为真命题，“∃x∈M,x≥3”为假命题，则集合M可以是()。

A.(-∞,1)
B.[-1,3]
C.[0,2)
D.(-3,3)

答案： AD

6. (能力点2)已知集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m²+3≤x≤m²+4}，如果命题“∃m∈R,A∩B≠∅”为假命题，则实数a的取值范围为。

答案： (-∞, 3)

7. (能力点2)已知命题p:∀x∈R,x²-2x-3m＞0；命题q:∃x∈R,x²+4x+4m＜0。
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题p,q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围。

答案：
(1) 命题p为真，即∀x∈R，x²-2x-3m＞0。二次函数y=x²-2x-3m开口向上，要恒大于0，则Δ=(-2)²-4×1×(-3m)=4+12m＜0，解得m＜-1/3。
(2) 命题q为假，其否定∀x∈R，x²+4x+4m≥0为真。二次函数y=x²+4x+4m开口向上，Δ=4²-4×1×4m=16-16m≤0，解得m≥1。
(3) p，q至少有一个为真的补集为p假且q假。p假时，Δ=4+12m≥0⇒m≥-1/3；q假时，m≥1。p假且q假时，m≥1。故至少一个为真时，m＜1。
(1) m∈(-∞,-1/3)
(2) m∈[1,+∞)
(3) m∈(-∞,1)

8. (2024·河南禹州第一高级中学高一月考·能力点2)已知命题p:“∃x∈R，使不等式x²-2x-m≤0成立”是假命题。
(1)求实数m的取值集合A；
(2)若q:-4＜m-a＜4是p的否定的充分且不必要条件，求实数a的取值范围。

答案：
(1)$A = (-\infty, -1)$；
(2)$(-\infty, -5]$