《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-1
关于 $x$ 的方程 $ax^2 - 2(a + 1)x + a - 1 = 0$, 求 $a$ 为何值时:
(1) 方程有一正根一负根;
(2) 方程两根都大于 $1$ (两根不相等)。

答案：
答 令 $f(x) = ax^2 - 2(a + 1)x + a - 1$。
(1) 当方程有一正根一负根时, $f(x) = ax^2 - 2(a + 1)x + a - 1$ 对应的图像只有如图 3-3-4①②两种情况。
因此方程 $ax^2 - 2(a + 1)x + a - 1 = 0$ 有一正根一负根等价于 $\begin{cases} a ＞ 0, \\ f(0) ＜ 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a ＜ 0, \\ f(0) ＞ 0, \end{cases}$ 解得 $0 ＜ a ＜ 1$。
所以 $0 ＜ a ＜ 1$ 时, 方程有一正根一负根。

(2) 方程两根都大于 $1$ 时, $f(x) = ax^2 - 2(a + 1)x + a - 1$ 对应的图像只有如图 3-3-4③④两种情况。
因此方程 $ax^2 - 2(a + 1)x + a - 1 = 0$ 两根都大于 $1$ 等价于 $\begin{cases} a ＞ 0, \\ \Delta ＞ 0, \\ \frac{2(a + 1)}{2a} ＞ 1, \\ f(1) ＞ 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a ＜ 0, \\ \Delta ＞ 0, \\ \frac{2(a + 1)}{2a} ＞ 1, \\ f(1) ＜ 0, \end{cases}$ 解得 $a \in \varnothing$。所以不存在实数 $a$, 使方程两根都大于 $1$。