《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

(1)指数型函数的定义域: $y = a^{f(x)} (a ＞ 0, a \neq 1)$ 的定义域与函数 $y = f(x)$ 的定义域相同, 而 $y = f(a^x)$ 的定义域与函数 $y = f(x)$ 的定义域不一定相同。
(2) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-0.5}, \left(\frac{3}{4}\right)^{-0.5}$;
(3) $0.2^{0.3}, 0.3^{0.2}$。

答案：
解

答
(1)因为 $0 ＜ \frac{5}{7} ＜ 1$, 所以函数 $y = \left(\frac{5}{7}\right)^x$ 在定义域 $\mathbb{R}$ 上单调递减。又 $-1.8 ＞ -2.5$, 所以 $\left(\frac{5}{7}\right)^{-1.8} ＜ \left(\frac{5}{7}\right)^{-2.5}$。
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数 $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ 与 $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$ 的图像, 如图6-2-6所示。当 $x = -0.5$ 时, 观察图像可得 $\left(\frac{2}{3}\right)^{-0.5} ＞ \left(\frac{3}{4}\right)^{-0.5}$。
(3)因为 $0 ＜ 0.2 ＜ 0.3 ＜ 1$, 所以指数函数 $y = 0.2^x$ 与 $y = 0.3^x$ 在定义域 $\mathbb{R}$ 上均是减函数, 且在区间 $(0, +\infty)$ 上函数 $y = 0.2^x$ 的图像在函数 $y = 0.3^x$ 的图像的下方, 所以 $0.2^{0.2} ＜ 0.3^{0.2}$。
又根据指数函数 $y = 0.2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是减函数可得 $0.2^{0.3} ＜ 0.2^{0.2}$, 所以 $0.2^{0.3} ＜ 0.3^{0.2}$。

例2
求下列函数的定义域和值域。
(1) $y = 2^{\frac{1}{x-4}}$; (2) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{-|x|}$;
(3) $y = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x}$; (4) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x - 3}$。
(2)指数型函数的值域: 求 $y = a^{f(x)}$ 的值域时, 先求函数 $t = f(x)$ 的值域, 再根据指数函数的单调性确定函数 $y = a^{f(x)}$ 的值域即可。求值域仍要坚持“定义域优先”的原则。
解题通法
求指数型函数的定义域和值域的一般方法
(1)求指数型函数的定义域时, 先观察函数是 $y = f(a^x)$ 型还是 $y = a^{f(x)}$ 型。
①由于指数函数 $y = a^x (a ＞ 0, a \neq 1)$ 的定义域是 $\mathbb{R}$, 因此函数 $y = a^{f(x)}$ 的定义域与 $f(x)$ 的定义域相同。
②对于函数 $y = f(a^x) (a ＞ 0, a \neq 1)$ 的定义域, 关键是找出 $t = a^x$ 的值域的哪些部分在 $y = f(t)$ 的定义域中。
③求 $y = \sqrt{f(a^x)}$ 型函数的定义域时, 往往转化为解指数不等式(组)。
(2)求与指数函数 $y = a^x (a ＞ 0, a \neq 1)$ 有关的函数的值域时, 要注意指数函数的值域为 $(0, +\infty)$, 还需注意: 在求形如 $y = a^{f(x)} (a ＞ 0, a \neq 1)$ 的函数值域时, 先求得 $f(x)$ 的值域(即函数 $t = f(x)$ 中 $t$ 的范围), 再根据 $y = a^t$ 的单调性, 列出指数不等式(组), 得出 $a^t$ 的范围, 即 $y = a^{f(x)}$ 的值域。

答案：
(1) 定义域：$x-4\neq0\Rightarrow x\neq4$，故定义域为$(-\infty,4)\cup(4,+\infty)$；
值域：令$t=\frac{1}{x-4}$，则$t\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，$y=2^t$，$\because t\neq0\Rightarrow y\neq1$，且$y＞0$，故值域为$(0,1)\cup(1,+\infty)$。
(2) 定义域：$x\in\mathbb{R}$，故定义域为$\mathbb{R}$；
值域：令$t=-|x|$，则$t\in(-\infty,0]$，$y=\left(\frac{2}{3}\right)^t$，$\because 0＜\frac{2}{3}＜1$，函数单调递减，$\therefore t\leq0\Rightarrow y\geq\left(\frac{2}{3}\right)^0=1$，故值域为$[1,+\infty)$。
(3) 定义域：$1-\left(\frac{1}{2}\right)^x\geq0\Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^x\leq1=\left(\frac{1}{2}\right)^0$，$\because 0＜\frac{1}{2}＜1$，函数单调递减，$\therefore x\geq0$，故定义域为$[0,+\infty)$；
值域：令$t=\left(\frac{1}{2}\right)^x$，$x\geq0\Rightarrow t\in(0,1]$，则$1-t\in[0,1)$，$y=\sqrt{1-t}\Rightarrow y\in[0,1)$，故值域为$[0,1)$。
(4) 定义域：$x\in\mathbb{R}$，故定义域为$\mathbb{R}$；
值域：令$t=x^2-2x-3=(x-1)^2-4\Rightarrow t\in[-4,+\infty)$，$y=\left(\frac{1}{2}\right)^t$，$\because 0＜\frac{1}{2}＜1$，函数单调递减，$\therefore t\geq-4\Rightarrow y\leq\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=16$，且$y＞0$，故值域为$(0,16]$。