《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-2 2024·广西桂林中学期中
下列命题为真命题的是()。

A.所有的有理数都有倒数
B.对每一个无理数x，x²也是无理数
C.∃x∈Z,x²-2x-3=0
D.有的三角形没有外接圆

答案： 解 0是有理数，但0没有倒数，故A是假命题；对于无理数√3，(√3)²=3是有理数，故B是假命题；C中，当x=-1时，满足题意，是真命题；D是假命题，因为所有的三角形都有外接圆。
答 C

例2 2024·海南中学期中
(1)已知命题p:∃x≥-1/2,2x+2-a=0为真命题，求实数a的取值范围；
(2)已知命题p:∀x≥-1/2,2x+2-a＞0为真命题，求实数a的取值范围；
(3)已知命题p:∃x≥-1/2,2x+2-a=0为假命题，求实数a的取值范围。

答案： 答
(1)因为p为真命题，即当x≥-1/2时，方程2x+2-a=0有实根，所以a=2x+2≥2×(-1/2)+2=1，即a≥1。故实数a的取值范围为{a|a≥1}。
(2)由题意知，∀x≥-1/2,2x+2-a＞0为真命题，所以a＜2x+2，令y=2x+2,x≥-1/2，则yₘᵢₙ=2×(-1/2)+2=1，所以a＜1（不等式恒成立时，a＜yₘᵢₙ），故实数a的取值范围为{a|a＜1}。
(3)“∃x≥-1/2,2x+2-a=0为假命题”等价于“∀x≥-1/2,2x+2-a≠0为真命题”，由x≥-1/2，得2x+2≥1，要使a≠2x+2，则需a＜1。故实数a的取值范围为{a|a＜1}。