《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2-1 2024·湖北华师一附中期末
(1)设$a,b,c$为正数，且$2^a = \log_{\frac{1}{2}}a,(\frac{1}{2})^b = \log_{\frac{1}{2}}b,(\frac{1}{2})^c = \log_2 c$，那么$a,b,c$的大小关系为()。
A.$a＜b＜c$
B.$c＜b＜a$
C.$c＜a＜b$
D.$b＜a＜c$
(2)　已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2 - 2mx + 2 + m^2,x \leq m,\\\log_{\frac{1}{2}}x,x＞m,\end{cases}$
其中$0＜m＜1$。若存在实数$a$，使得关于$x$的方程$f(x)=a$恰有三个互异的实数解，则$m$的取值范围是()。
A.$(0,\frac{1}{4})$
B.$(0,\frac{1}{2})$
C.$(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$
D.$(\frac{1}{2},1)$

答案：
解　
(1)在同一平面直角坐标系中作出函数$y = 2^x,y = (\frac{1}{2})^x,y = \log_{\frac{1}{2}}x,y = \log_2 x$的图像，如图①所示。由图可知$a＜b＜c$，故选A。

(2)$\because 0＜m＜1$，$\therefore$函数$f(x)$的大致图像如图②所示。$\because x \leq m$时，$f(x)=x^2 - 2mx + m^2 + 2 = (x - m)^2 + 2 \geq 2$，$\therefore$要使得关于$x$的方程$f(x)=a$恰有三个互异的实数解，必须$2＜\vert \log_{\frac{1}{2}}m \vert$。
又$0＜m＜1$，所以$0＜m＜\frac{1}{4}$，故选A。
答　
(1)A　
(2)A
▲方法总结
解答与对数函数图像有关的综合问题的关键：
(1)熟悉函数的图像及性质是解决该类型题目的前提。
(2)对于较复杂的方程，求其解的个数或者参数的取值范围，往往转化为两个函数图像的交点个数问题，体现了数形结合思想。

例2-2 2024·北京四中期末
已知函数$f(x)=\log_a (x + 1)(0＜a＜1)$，函数$g(x)$的图像与$f(x)$的图像关于原点对称。
(1)写出$g(x)$的解析式；
(2)判断$f(x)-g(x)$的奇偶性，并说明理由；
(3)若$x \in [0,1)$时，总有$f(x)+g(x) \leq m$成立，求实数$m$的取值范围。

答案： 答　
(1)设$P(x,y)$为函数$g(x)$的图像上任意一点，点$P$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$，由已知点$P'(-x,-y)$在函数$f(x)=\log_a (x + 1)$的图像上，得$-y = \log_a (-x + 1)$，即$g(x)=-\log_a (-x + 1)(0＜a＜1,x＜1)$。
(2)函数$f(x)-g(x)$为偶函数，理由如下：$f(x)-g(x)=\log_a (x + 1) + \log_a (-x + 1)=\log_a (1 - x^2)$，其中$\begin{cases}-x + 1＞0,\\x + 1＞0,\end{cases}$所以函数$f(x)-g(x)$的定义域为$(-1,1)$，关于原点对称。$f(-x)-g(-x)=\log_a (1 - x^2)=f(x)-g(x)$，故函数$f(x)-g(x)$为偶函数。
(3)$f(x)+g(x)=\log_a \frac{1 + x}{1 - x} \leq m$恒成立，
设$t = \frac{1 + x}{1 - x} = -1 + \frac{2}{1 - x}$，
当$x \in [0,1)$时，函数$t = -1 + \frac{2}{1 - x}$单调递增，
所以$t \in [1,+\infty)$，
所以函数$f(x)+g(x)$在$[0,1)$上单调递减，
则$f(x)+g(x)$的最大值为$0$，所以$m \geq 0$，即实数$m$的取值范围为$[0,+\infty)$。
▲方法总结
(1)对于函数的综合性问题，往往与函数的单调性、奇偶性、值域等性质结合，综合考查分析与转化能力，这类问题的求解需要有较强的运算能力，因此，要反复加强训练才能得到全面提高。
(2)解决此类型问题的基本思路：首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路，化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路。