《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-1 已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$是偶函数，且$f(x)=f(2-x)$。若$f(x)$在区间$[1,2]$上是减函数，则下列关于$f(x)$的说法正确的是()。

A.在区间$[-2,-1]$上是增函数，在区间$[3,4]$上是增函数
B.在区间$[-2,-1]$上是增函数，在区间$[3,4]$上是减函数
C.在区间$[-2,-1]$上是减函数，在区间$[3,4]$上是增函数
D.在区间$[-2,-1]$上是减函数，在区间$[3,4]$上是减函数

答案：
解 由$f(x)=f(2-x)$，可知$f(x)$的图像关于直线$x=1$对称。又$f(x)$为偶函数，所以$f(x)$的图像关于$y$轴对称。由$f(x)=f(2-x)$，可得$f(-x)=f(2+x)$，即$f(x)=f(x+2)$，再结合$f(x)$在区间$[1,2]$上是减函数，$f(x)$的图像关于直线$x=1$对称，画出$f(x)$的大致图像，如图5-4-7所示。

由图可知$f(x)$在区间$[-2,-1]$上是增函数，在区间$[3,4]$上是减函数。
答 B

例4-2 2024·广东深圳期末
函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，若$f(x+1)$与$f(x-1)$都是奇函数，则（）。

A.$f(x)$是偶函数
B.$f(x)$是奇函数
C.$f(x)=f(x+2)$
D.$f(x+3)$是奇函数

答案： 解 函数$f(x)$的图像是由函数$f(x+1)$的图像向右平移1个单位长度得到的，$f(x+1)$是奇函数，则$f(x+1)$的图像关于原点对称，因此$f(x)$的图像一定关于点$(1,0)$成中心对称。类似地，由$f(x-1)$是奇函数可得$f(x)$的图像关于点$(-1,0)$成中心对称，所以不能判断$f(x)$的奇偶性，故A，B不正确。函数$f(x+1)$是奇函数，则$f(-x+1)=-f(x+1)$。函数$f(x-1)$是奇函数，则$f(-x-1)=-f(x-1)$。所以$f(x)=f((x-1)+1)=-f(1-x+1)=-f(2-x)=-f(-(x-3)-1)=f(x-3-1)=f(x-4)$，即$f(x)=f(x+4)$，所以C不正确。$f(x+3)=f((x+2)+1)=-f(-(x+2)+1)=-f(-x-1)=f(x-1)$，所以$f(-x+3)=f(-(x-2)+1)=-f((x-2)+1)=-f(x-1)=-f(x+3)$，即$f(x+3)$是奇函数，故D正确。
答 D