《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-1
若$a,b,c ＞ 0$,且$2a + b + c = \sqrt{6}$,则$a(a + b + c) + bc$的最大值为()。

A.$\frac{3}{4}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$

答案： 解 $\because a(a + b + c) + bc = a^{2} + ab + ac + bc =$
$(a^{2} + ac) + (ab + bc) = a(a + c) + b(a + c) =$
$(a + b)(a + c) \leq \lbrack\frac{(a + b) + (a + c)}{2}\rbrack^{2} =$
$\lbrack\frac{(2a + b + c)}{2}\rbrack^{2} = (\frac{\sqrt{6}}{2})^{2} = \frac{3}{2}$，当且仅当$a + b = a +$
$c = \frac{\sqrt{6}}{2}$，即$b = c$时，取等号，$\therefore a(a + b + c) + bc$的最大值为$\frac{3}{2}$。故选 C。
答 C

例4-2
设$a ＞ b ＞ c ＞ 0$,则$2a^{2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a(a - b)} - 10ac +$
$25c^{2}$的最小值是()。

A.$2$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$5$

答案： 解 $\because a ＞ b ＞ c ＞ 0,\therefore$原式$= a^{2} - ab +$
$\frac{1}{a(a - b)} + ab + \frac{1}{ab} +$
$(a - 5c)^{2} \geq 2 + 2 + 0 = 4$，当且仅当$a(a - b) =$
$1,ab = 1,a - 5c = 0$时取等号，即当$a = \sqrt{2},b =$
$\frac{\sqrt{2}}{2},c = \frac{\sqrt{2}}{5}$时，所求代数式的最小值为$4$。故
选 B。
答 B

例4-3
已知$x ＜ \frac{5}{4}$,求函数$y = 4x - 2 + \frac{1}{4x - 5}$的最大值。

答案： 答 $\because x ＜ \frac{5}{4},\therefore 5 - 4x ＞ 0$，
$\therefore y = 4x - 2 + \frac{1}{4x - 5} = - (5 - 4x + \frac{1}{5 - 4x}) + 3 \leq$
$- 2 + 3 = 1$，
当且仅当$5 - 4x = \frac{1}{5 - 4x}$，即$x = 1$时，等号成立，
故当$x = 1$时,$y_{\max} = 1$。

例4-4
若正实数$x,y$满足$2x + y + 6 = xy$,则$2x + y$的
最小值是。

答案： 解 方法一:$\because x ＞ 0,y ＞ 0,\therefore xy = \frac{1}{2} · (2x) ·$
$y \leq \frac{1}{2} · (\frac{2x + y}{2})^{2},\therefore 2x + y + 6 = (2x + y) + 6 \leq$
$\frac{1}{8}(2x + y)^{2} + 6$，
令$2x + y = t,t ＞ 0,$则$t^{2} - 8t - 48\geq0,\therefore (t - 12)(t + 4)\geq0,\therefore t\geq12$，即$2x + y\geq12$。
方法二:由$x ＞ 0,y ＞ 0,2x + y + 6 = xy$，得$xy \geq$
$2\sqrt{2xy} + 6$(当且仅当$2x = y$时，取等号)，即
$(\sqrt{xy})^{2} - 2\sqrt{2} · \sqrt{xy} - 6\geq0,\therefore (\sqrt{xy} - 3\sqrt{2}) ·$
$(\sqrt{xy} + \sqrt{2}) \geq0$。又$\because \sqrt{xy} ＞ 0,\therefore \sqrt{xy} \geq3\sqrt{2}$，
即$xy \geq18,\therefore xy$的最小值为$18。\because 2x + y =$
$xy - 6,\therefore 2x + y$的最小值为$12$。
答 12