《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

1. (2024·四川成都七中期中·能力点1，2)方程组$\left\{\begin{array}{l}2x+y=5,\\x-y-4=0\end{array}\right.$的解集是( )。

A.$\{(3,-1)\}$
B.$\{3,-1\}$
C.$\{x=3,y=-1\}$
D.$\{x=-1,y=3\}$

答案： A。

2. (2024·湖北黄冈中学期中·能力点1，2)下列各组是相等集合的是()。

A.$M=\{(3,2)\}$，$N=\{(2,3)\}$
B.$M=\{(x,y)|y=-2x+1\}$，$N=\{y|y=-2x+1\}$
C.$M=\{1,2\}$，$N=\{2,1\}$
D.$M=\{2,4\}$，$N=\{(2,4)\}$

答案： C

3. (能力点4)已知关于$x$的方程$|x^2-6x|=a(a＞0)$的解集为$P$，则$P$中所有元素的和是()。

A.3或6或9
B.6或9或12
C.9或12或15
D.6或12或15

答案： B

4. (2024·山西省实验中学月考·知识点3)(多选)已知$x,y,z$为非零实数，代数式$\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{|xyz|}{xyz}$的值所组成的集合是$M$，则下列判断正确的是()。

A.$0\notin M$
B.$2\notin M$
C.$-4\in M$
D.$4\in M$

答案： BCD

5. (2024·湖南师大附中、梅溪湖中学等联考·能力点3)(多选)当一个非空数集$F$满足条件“若$a,b\in F$，则$a+b,a-b,ab\in F$，且当$b\neq0$时，$\frac{a}{b}\in F$”时，称$F$为一个数域，以下说法正确的是()。

A.0是任何数域的元素
B.若数域$F$有非零元素，则$2021\in F$
C.集合$P=\{x|x=3k,k\in \mathbf{Z}\}$为数域
D.有理数集为为数域

答案： ABD

6. (2024·江苏扬州一中高一上月考·知识点5)已知$a,b\in \mathbf{R}$，若$\left\{a,\frac{b}{a},1\right\}=\{a^2,a+b,0\}$，则$a^{2022}+b^{2022}=$。

答案： 因为集合相等则元素完全相同，且元素具有互异性。
1. 确定b的值：
右边集合含元素0，左边集合元素为$a,\frac{b}{a},1$。因$a\neq0$（分母不为0），故$\frac{b}{a}=0\Rightarrow b=0$。
2. 化简集合并分析a：
此时左边集合为$\{a,0,1\}$，右边集合为$\{a^2,a,0\}$。两集合相等，故剩余元素需相等，即$1=a^2\Rightarrow a=\pm1$。
3. 验证互异性：
若$a=1$，左边集合为$\{1,0,1\}$，元素重复，舍去；
若$a=-1$，左边集合$\{-1,0,1\}$，右边集合$\{1,-1,0\}$，满足互异性。
4. 计算结果：
$a=-1$，$b=0$，则$a^{2022}+b^{2022}=(-1)^{2022}+0^{2022}=1+0=1$。
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7. （2024·安徽合肥高一月考·能力点3）设数集$A$由实数构成，且满足：若$x\in A(x\neq1$且$x\neq0)$，则$\frac{1}{1-x}\in A$。
（1）若$2\in A$，试证明$A$中还有另外两个元素；
（2）集合$A$是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若$A$中元素不超过8个，所有元素的和为$\frac{14}{3}$，且$A$中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合$A$。

答案： （1）见解析；（2）不是；（3）$\{-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},2,\frac{2}{3},3\}$

8. (能力点4)已知集合$A=\{x\in \mathbf{R}|ax^2-3x+1=0,a\in \mathbf{R}\}$，且。求实数$a$的值组成的集合。
在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题。
①集合$A$中仅有一个元素；②集合$A$中有两个元素；③集合$A$中没有元素。

答案： 若选①：
当$a = 0$时，方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$变为$-3x + 1 = 0$，解得$x=\frac{1}{3}$，此时集合$A$中仅有一个元素，满足条件。
当$a\neq0$时，对于一元二次方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$，其判别式$\Delta = (-3)^2 - 4a×1 = 9 - 4a$。
若集合$A$中仅有一个元素，则$\Delta = 0$，即$9 - 4a = 0$，解得$a=\frac{9}{4}$。
所以实数$a$的值组成的集合为$\left\{0,\frac{9}{4}\right\}$。
若选②：
因为集合$A$中有两个元素，所以$a\neq0$，对于一元二次方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$，其判别式$\Delta = (-3)^2 - 4a×1 = 9 - 4a$。
要使集合$A$中有两个元素，则$\Delta＞0$，即$9 - 4a＞0$，解得$a＜\frac{9}{4}$且$a\neq0$。
所以实数$a$的值组成的集合为$\left\{a\mid a＜\frac{9}{4}且a\neq0\right\}$。
若选③：
当$a = 0$时，方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$变为$-3x + 1 = 0$，解得$x=\frac{1}{3}$，不满足集合$A$中没有元素。
当$a\neq0$时，对于一元二次方程$ax^2 - 3x + 1 = 0$，其判别式$\Delta = (-3)^2 - 4a×1 = 9 - 4a$。
若集合$A$中没有元素，则$\Delta＜0$，即$9 - 4a＜0$，解得$a＞\frac{9}{4}$。
所以实数$a$的值组成的集合为$\left\{a\mid a＞\frac{9}{4}\right\}$。