《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4全国高中数学联赛一试A卷
已知函数∮(x),g(x)的定义域均为R,f(x+1)
是奇函数,且f(1−x)+g(x)=2,f(x)+g(x−3)=2,则下列结论正确的是。(只填序号)
①∮(x)为偶函数; ②g(x)为奇函数;
③∑20f(k)=40;; ④kg(k)=40.
解因为f(x)+g(x−3)=2,所以f(x+3)+g(x)=2。又因为f(1−x)+g(x)=2,则有∮(x+3)=f(1−x),且f(x+1)是奇函数,则
∮(x+1)=−f(1−x),可得f(x+3)=−f(x+
1),即∮(x+2)=−f(x),则f(x+4)=−∮(x+
2)=−[−f(x)]=∮(x),即∮(x+4)=∮(x),所以f(x)是周期为4的周期函数。因为f(x+3)+
g(x)=2,则g(x)=2−∮(x+3),可得g(x+4)=
2−∮(x+4+3)=2−f(x+3)=g(x),故g(x)
也是周期为4的周期函数。
对于①:因为∮(x+1)=−∮(1−x),则f(x+2)=
−∮(−x),即−f(x)=−∮(−x),所以∮(−x)=
∮(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;
对于②:因为g(x)+g(−x)=[2−f(x+3)]+
[2−f(−x+3)]=4−[f(x+3)+f(−x+3)]=
4−[f(x−1)+f(−x−1)]=4−[f(1−x)+
f(x+1)]=4≠0,所以g(x)≠−g(−x),故②错误;
对于③:因为∮(x+1)=−f(1−x),令x=0,即∮(1)=−f(1),则f(1)=0,又因为f(x+2)=
−f(x),令x=1,所以f(3)=−f(1)=0,令x=
2,则f(4)=−f(2),即f(2)+f(4)=0,即20
∮(1)+∮(2)+∮(3)+f(4)=0,所以∑f(k)=
5[∮(1)+f(2)+∮(3)+∮(4)]=0,所以③错误;对于④:因为g(x)=2−∮(x+3),所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=[2−f(4)]+[2−∮(5)]+
[2−f(6)]+[2−f(7)]=8−[f(1)+f(2)+20
f(3)+∮(4)]=8,所以∑k=1g(k)=5[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]=40,所以④正确。
答①④

答案： ①④
解析：
由$f(x)+g(x-3)=2$得$f(x+3)+g(x)=2$，又$f(1-x)+g(x)=2$，故$f(x+3)=f(1-x)$。
$f(x+1)$是奇函数，则$f(-x+1)=-f(x+1)$，即$f(1-x)=-f(x+1)$，故$f(x+3)=-f(x+1)$，令$t=x+1$得$f(t+2)=-f(t)$，即$f(x+2)=-f(x)$，进而$f(x+4)=f(x)$，$f(x)$周期为4。
由$g(x)=2-f(x+3)$得$g(x+4)=g(x)$，$g(x)$周期为4。
①：$f(x+1)=-f(1-x)$，令$x=u-1$得$f(u)=-f(2-u)$，又$f(x+2)=-f(x)$知$f(2-u)=-f(-u)$，故$f(u)=f(-u)$，$f(x)$为偶函数，①正确。
②：$g(x)+g(-x)=4-[f(x+3)+f(3-x)]$，$f(x+3)=f(x-1)$，$f(3-x)=f(x+1)$，且$f(x-1)=-f(x+1)$，故$f(x+3)+f(3-x)=0$，$g(x)+g(-x)=4≠0$，②错误。
③：$f(1)=0$，$f(3)=-f(1)=0$，$f(4)=-f(2)$，周期和$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0$，$\sum_{k=1}^{20}f(k)=5×0=0≠40$，③错误。
④：$g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=8-[f(4)+f(1)+f(2)+f(3)]=8$，$\sum_{k=1}^{20}g(k)=5×8=40$，④正确。
综上，正确结论为①④。
答①④