《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1
用列举法表示下列集合:
(1)A={x∈N|$\frac{6}{6−x}$∈N};
(2)B={$\frac{6}{6−x}$∈N|x∈N}.

错解
(1)由题可得$\begin{cases} \dfrac{6}{6 - x} \geqslant 0, \\ x \geqslant 0, \\ \end{cases}$即$\begin{cases} 6 - x ＞ 0, \\ x \geqslant 0, \\ \end{cases}$
$\therefore 0 \leqslant x ＜ 6$。又$x \in \mathbf{N}$，$\therefore x = 0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$。
$\therefore A = \{0,1,2,3,4,5\}$。
(2)由(1)知，$B = A = \{0,1,2,3,4,5\}$。
错因分析
问题(1)中只注意到$x \in \mathbf{N}$，而忽视了$\dfrac{6}{6 - x} \in \mathbf{N}$这一条件，当$x = 1$，$2$时，$\dfrac{6}{6 - x}$不为自然数。
(2)中集合$B$的元素不是$x$，而是$\dfrac{6}{6 - x}$且$\dfrac{6}{6 - x} \in \mathbf{N}$，$x \in \mathbf{N}$，它与集合$A$的元素是不一样的。

答案：
(1)
由题，要使$\frac{6}{6 - x} \in N$，则$6 - x＞0$，即$x ＜ 6$，又$x\in N$，所以$x = 0,1,2,3,4,5$。
当$x = 0$时，$\frac{6}{6 - 0}=1\in N$；当$x = 1$时，$\frac{6}{6 - 1}=\frac{6}{5}\notin N$；当$x = 2$时，$\frac{6}{6 - 2}=\frac{3}{2}\notin N$；当$x = 3$时，$\frac{6}{6 - 3}=2\in N$；当$x = 4$时，$\frac{6}{6 - 4}=3\in N$；当$x = 5$时，$\frac{6}{6 - 5}=6\in N$。
所以$A = \{0,3,4,5\}$。
(2)
由
(1)知，当$x = 0$时，$\frac{6}{6 - 0}=1$；当$x = 3$时，$\frac{6}{6 - 3}=2$；当$x = 4$时，$\frac{6}{6 - 4}=3$；当$x = 5$时，$\frac{6}{6 - 5}=6$。
所以$B = \{1,2,3,6\}$。

例2
写出方程x²−(a+1)x+α=0的解集。
错解∵x²−(a+1)x+a=0,即(x−a).(x−
1)=0,∴方程的实数根为x=1或x=a,则方程的解集为{1,a}。
错因分析，错解中没有注意到字母a的取值带
有不确定性,得到了错误答案{1,a}。事实上，
当α=1时,不满足集合中元素的互异性。

满分策略，本节出现含参的集合问题时，涉及内
容多为集合的表示、元素与集合的关系、集合相
等,解题时需要根据集合中元素的互异性,对参数的取值进行取舍，否则会产生“增解”。换句
话说，“互异性”在求解含参的集合问题中，发挥着“指挥棒”的作用。

答案： 解方程$x^2 - (a + 1)x + a = 0$，因式分解得$(x - 1)(x - a) = 0$，则方程的根为$x = 1$或$x = a$。
当$a = 1$时，方程的解集为$\{1\}$；
当$a \neq 1$时，方程的解集为$\{1, a\}$。
综上，当$a = 1$时，解集为$\{1\}$；当$a \neq 1$时，解集为$\{1, a\}$。