《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

易例错1|1忽略x系数的符号而致错
求函数y=sin(−2x+$\frac{A}{6}${的单调递减区间。
错解设z=−2x+$\frac{A}{6}$。∵y=sinx的单调递减区间为[2kπ+$\frac{H}{2}$,2kπ+$\frac{3π}{2}$],k∈Z,∴2kπ+$\frac{H}{2}$≤−2x+$\frac{H}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,解得−kπ−$\frac{2π}{3}$≤x≤−kπ−$\frac{1}{6}$,k∈ZC
∴函数y=sin(−2x+$\frac{1}{6}${的单调递减区间为
[−kπ−

$\frac{2π}{3}$

,−kπ−$\frac{H}{6}$],keZ。
错因分析，求复合函数单调性时忽视了∞＜0对其单调性的影响。
正解y=sin(−2x+$\frac{A}{6}$)=−sin(2x−$\frac{H}{6}$),求函数y=sin(−2x+$\frac{H}{6}$)的单调递减区间,即求y=
sin(2x−$\frac{1}{6}${的单调递增区间,则2kπ−$\frac{1}{2}$−≤2x−$\frac{H}{6}$≤2kπ+$\frac{H}{2}$,k∈Z,解得kπ−$\frac{A}{6}$≤x≤kπ+$\frac{1}{3}$,k∈Z。∴函数y=sin(−2x+$\frac{A}{6}$)的单调递减区间为[kπ−$\frac{A}{6}$,kπ+$\frac{H}{3}$],keZ。
易错警示，求函数y=Asin(仉x+)(A＞0)的单调区间时，若0＜0,需先利用诱导公式转化为y=−Asin(−仉x−φ),所以要求y=
−Asin(−仞x−φ)的单调递增区间,转化为求y=Asin(−x−φ)的单调递减区间;要求y=
−Asin(−wx−φ)的单调递减区间,转化为求y=Asin(−∞x−φ)的单调递增区间。
满分策略，在求复合函数的单调区间时要注意到其“复合”的过程，“−”号对其单调性是有影
响的。因此,此类题型先要用诱导公式变形使
x的系数大于0,再求其单调区间,切记。

答案：
函数的单调递减区间为 $\boxed{\left[k\pi - \frac{\pi}{6}, k\pi + \frac{\pi}{3}\right] (k \in \mathbb{Z})}$

例2
设sinx+siny=$\frac{1}{3}$,求M=sinx−cos2y的
最值。
错解∵sinx=$\frac{1}{3}$−siny,∴M=sinx−cos²2y=
$\frac{1}{3}$−siny−cos2y=sin²y−siny−$\frac{2}{3}$=(siny−
$\frac{1}{2}$)2−$\frac{11}{12}$,则当siny=$\frac{1}{2}$时,Mmin=−$\frac{11}{12}$;当
siny=−1时,Mmax=$\frac{4}{3}$。
错因分析，消去sinx后，忘记了sinx对siny的
取值有制约的作用。
正解由题意可得sinx=$\frac{1}{3}$−siny,
{−1≤$\frac{1}{3}$−siny≤1,→−$\frac{2}{3}$≤siny≤1,
−1≤siny≤1
∴M=sinx−cos²y=$\frac{1}{3}$−siny−cos²y=sin²y−
siny−$\frac{2}{3}$=(siny−$\frac{1}{2}$)2−$\frac{11}{12}$,则当siny=$\frac{1}{2}$时，
Mmin=−$\frac{11}{12}$;当siny=−$\frac{2}{3}$时,Mmax=$\frac{4}{9}$。
易错警示;变量统一后，不可忽略三角函数的取
值范围,在本题中对于siny的取值范围要
弄清。

答案： 由sinx+siny=$\frac{1}{3}$得sinx=$\frac{1}{3}$−siny，
因为−1≤sinx≤1，所以−1≤$\frac{1}{3}$−siny≤1，
解得−$\frac{2}{3}$≤siny≤1，
又−1≤siny≤1，故siny∈[−$\frac{2}{3}$,1]，
M=sinx−cos²y=$\frac{1}{3}$−siny−(1−sin²y)=sin²y−siny−$\frac{2}{3}$，
令t=siny，t∈[−$\frac{2}{3}$,1]，则M=t²−t−$\frac{2}{3}$，
函数M(t)=t²−t−$\frac{2}{3}$的对称轴为t=$\frac{1}{2}$，开口向上，
当t=$\frac{1}{2}$时，Mmin=($\frac{1}{2}$)²−$\frac{1}{2}$−$\frac{2}{3}$=−$\frac{11}{12}$，
当t=−$\frac{2}{3}$时，M=($−\frac{2}{3}$)²−(−$\frac{2}{3}$)−$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
当t=1时，M=1²−1−$\frac{2}{3}$=−$\frac{2}{3}$，
比较得Mmax=$\frac{4}{9}$，
综上，M的最小值为−$\frac{11}{12}$，最大值为$\frac{4}{9}$。
Mmin=−$\frac{11}{12}$，Mmax=$\frac{4}{9}$

例3
求函数y=log扌[√2sin(x+$\frac{A}{4}$)}的单调递增
区间。
错解因为$\frac{1}{2}$∈(0,1),所以只要求出u=
√2sin(x+$\frac{H}{4}$)的单调递减区间即可。由2hπ+$\frac{H}{2}$≤x+$\frac{A}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,解得2kπ+$\frac{H}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{4}$,k∈Z。所以y=log[√2sin(x+$\frac{H}{4}$)]的单调递增区间为[2hkπ+$\frac{H}{4}$,2kπ+$\frac{5π}{4}$],k∈Z。
错因分析，求单调区间时忽视了函数的定义域。正解因为$\frac{1}{2}$∈(0,1),所以只要求出u=
√2sin(x+$\frac{H}{4}${的单调递减区间即可。又
sin(x+$\frac{H}{4}$)＞0,所以2kπ+$\frac{H}{2}$≤x+$\frac{H}{4}$＜2kπ+
π,k∈Z,解得2kπ+$\frac{A}{4}$≤x＜2kπ+$\frac{3π}{4}$,k∈Z。所以函数y=log扌[√2sin(x+$\frac{H}{4}$)]的单调递增区间为[2kπ+$\frac{A}{4}$,2kπ+$\frac{3π}{4}${,k∈Z。
满分策略，求单调区间时，应在定义域内求解，
并且注意函数在整个定义域上不具有单调性，
而是在定义域的某些区间上具有单调性,在求复合函数的单调区间时要注意到“复合法”中的“同增异减”的应用。

答案： 要使函数$y=\log_{\frac{1}{2}}[\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})]$有意义，需真数大于0，即$\sin(x+\frac{\pi}{4})＞0$，解得$2k\pi＜x+\frac{\pi}{4}＜2k\pi+\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，即定义域为$(2k\pi-\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{3\pi}{4})$，$k\in\mathbb{Z}$。
外层函数$y=\log_{\frac{1}{2}}u$在$u＞0$时单调递减，根据复合函数“同增异减”，需找内层函数$u=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$的单调递减区间。
$\sin t$的单调递减区间为$[2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2}]$，$k\in\mathbb{Z}$，令$t=x+\frac{\pi}{4}$，则$2k\pi+\frac{\pi}{2}\leq x+\frac{\pi}{4}\leq2k\pi+\frac{3\pi}{2}$，解得$2k\pi+\frac{\pi}{4}\leq x\leq2k\pi+\frac{5\pi}{4}$，$k\in\mathbb{Z}$。
取定义域与内层递减区间交集：$(2k\pi-\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{3\pi}{4})\cap[2k\pi+\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{5\pi}{4}]=[2k\pi+\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{3\pi}{4})$，$k\in\mathbb{Z}$。
故函数的单调递增区间为$[2k\pi+\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{3\pi}{4})$，$k\in\mathbb{Z}$。