《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

比较下列各题中两个值的大小。
−2.5
(1))($\frac{5}{7}$)1.8,($\frac{5}{7}$} ;
(1)化同底
因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底。
(2)商比法
不同底但可以化为同指数的两数比较大小,用商比法即可迎刃而解,这时要特别注意分母的正负。
(3)中间值法
要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到
A与B之间的大小。
(4)图解法
转化为同指数的幂后,在同一直角坐标系中作出相应指数函数的图像,根据条件观察图像变化规律来比较大小。
(5)估算法
估算法既可快速达到比较大小的目的,又可培养估算能力,此方法常用于解答填空题。
解题通法
104 多个数比较大小的方法
在进行数的大小比较时，一般先对其分类化
归,根据实际问题常将其分成三类:一类是负
数，一类是大于0小于1的数，一类是大于1
的数,再对三类数分别进行比较。若底数相
同,则可根据指数函数的性质得出结果。若
底数不相同，则首先考虑能否化成同底数,然
后根据指数函数的性质得出结果;不能化成
同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)
分别与之比较,从而得出结果。总之,比较时
要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的
单调性进行判断。

答案：
(1) 因为函数$y = (\frac{5}{7})^x$是指数函数，底数$0 ＜ \frac{5}{7} ＜ 1$，所以该函数在$R$上单调递减。
又因为$1.8 ＞ -2.5$，所以$(\frac{5}{7})^{1.8} ＜ (\frac{5}{7})^{-2.5}$。
结论：$(\frac{5}{7})^{1.8} ＜ (\frac{5}{7})^{-2.5}$