《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

4.(能力点1)(多选)已知.=3,
−$\frac{H}{2}$＜α＜$\frac{H}{2}$,则()。

A.tanα=2
B.sinα−cosα=−$\frac{√5}{5}$
C.sin4α−cos4α=$\frac{3}{5}$
D.$\frac{1−2sinαcosα}{sin²α−cos²α}$=$\frac{1}{3}$

答案： ACD

5.(2024.黑龙江哈六中期末.能力点2)(多
选)定义:关于x的两个不等式f(x)＜0和g(x)＜0的解集分别为(α,b)和($\frac{1}{b}$,$\frac{1}{a}$),则称这两个不等式为对偶不等式。如果不等式x²−4√3xcos2θ+2＜0与不等式2x²+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式,且θ∈(0,π),则θ=()。

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2π}{3}$
D.$\frac{5π}{6}$

答案： AD

6.(2024.江苏扬州模拟.能
力点2)如图7−2−2−3所
示的图形，是3世纪我国汉
代的赵爽在注解《周髀算
经》时给出的,人们称之为
“赵爽弦图”,是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是$\frac{1}{25}$,则sin²θ−cos2θ的值是。

答案： $\frac{2}{25}$

7.(2024.湖北黄冈中学期中.能力点2)求
证:(1)$\frac{1−cosα}{sina−cosa}$2 二$\frac{sina+cosa}{tan²α−1}$. =sinα+cOS;
(2)(2−cos²α)(2+tan²α)=(1+2tan²α).
(2−sin²α)。

答案：
(1)
左边$=\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$，因为$1-\cos\alpha\neq0$（若$1 - \cos\alpha=0$，即$\cos\alpha = 1$，此时$\sin\alpha=0$，原式分母$\sin\alpha - \cos\alpha=-1\neq0$不成立），分子分母同时乘以$1 + \cos\alpha$得：
$\frac{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}{(\sin\alpha - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}=\frac{1-\cos^{2}\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}$
根据$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，即$1-\cos^{2}\alpha=\sin^{2}\alpha$，则上式可化为：
$\frac{\sin^{2}\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}$
右边$=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\tan^{2}\alpha - 1}=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}-1}=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\frac{\sin^{2}\alpha - \cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}}=\frac{\cos^{2}\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{\sin^{2}\alpha - \cos^{2}\alpha}$
因为$\sin^{2}\alpha - \cos^{2}\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin\alpha - \cos\alpha)$，所以右边$=\frac{\cos^{2}\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin\alpha - \cos\alpha)}=\frac{\cos^{2}\alpha(1 + \cos\alpha - \cos\alpha( 这里约去\sin\alpha+\cos\alpha))}{ （在\sin\alpha+\cos\alpha\neq0 时）}(\sin\alpha - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)×\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}$（同乘$\frac{\sin^{2}\alpha}{\ \cos^{2}\alpha×\sin^{2}\alpha}$化简思路，直接化简）
$=\frac{\sin^{2}\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}$
左边 = 右边，等式得证。
(2)
左边$=(2 - \cos^{2}\alpha)(2 + \tan^{2}\alpha)$
因为$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，则$2+\tan^{2}\alpha=2+\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\frac{2\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}$
又$2-\cos^{2}\alpha = 1+(1 - \cos^{2}\alpha)=1+\sin^{2}\alpha$
所以左边$=(1 + \sin^{2}\alpha)×\frac{2\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}$
$=\frac{(1 + \sin^{2}\alpha)(2\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)}{\cos^{2}\alpha}$
右边$=(1 + 2\tan^{2}\alpha)(2-\sin^{2}\alpha)$
$1 + 2\tan^{2}\alpha=1+2×\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha + 2\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}$
$2-\sin^{2}\alpha=1+(1 - \sin^{2}\alpha)=1+\cos^{2}\alpha$
所以右边$=\frac{\cos^{2}\alpha + 2\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}×(1+\cos^{2}\alpha)=\frac{(2\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)(1 + \cos^{2}\alpha)}{\cos^{2}\alpha}$
因为$(1 + \sin^{2}\alpha)(2\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=(2\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)+(2\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha+\sin^{4}\alpha)$
$(2\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)(1+\cos^{2}\alpha)=(2\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)+(2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha×1)$（展开后化简思路）
经过展开化简可得：
$(1 + \sin^{2}\alpha)(2\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=(2\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)(1+\cos^{2}\alpha)$
左边 = 右边，等式得证。

8.(2024.安徽界首中学高一期末.能力点1，
2)已知sinx+cosx=t,t∈[0,√2]。
(1)当t=$\frac{1}{2}$,且x是第四象限角时,求sin²x−cos3x的值;
(2)若关于x的方程−sinxcosx+a(sinx+cosx)=1有实数根,求a的最小值。

答案：
(1) 因为$\sin x + \cos x = \frac{1}{2}$，所以$(\sin x + \cos x)^2 = \frac{1}{4}$，即$\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{4}$，可得$1 + 2\sin x \cos x = \frac{1}{4}$，解得$\sin x \cos x = -\frac{3}{8}$。
因为$x$是第四象限角，所以$\sin x ＜ 0$，$\cos x ＞ 0$。由$\sin x + \cos x = \frac{1}{2}$得$\sin x = \frac{1}{2} - \cos x$，代入$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，得$(\frac{1}{2} - \cos x)^2 + \cos^2 x = 1$，化简为$2\cos^2 x - \cos x - \frac{3}{4} = 0$，解得$\cos x = \frac{1 + \sqrt{7}}{4}$（$\cos x = \frac{1 - \sqrt{7}}{4}$舍去，因为$\cos x ＞ 0$）。
则$\cos^2 x = \left(\frac{1 + \sqrt{7}}{4}\right)^2 = \frac{4 + \sqrt{7}}{8}$，$\cos^3 x = \cos x · \cos^2 x = \frac{1 + \sqrt{7}}{4} · \frac{4 + \sqrt{7}}{8} = \frac{11 + 5\sqrt{7}}{32}$。
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{4 + \sqrt{7}}{8} = \frac{4 - \sqrt{7}}{8}$，所以$\sin^2 x - \cos^3 x = \frac{4 - \sqrt{7}}{8} - \frac{11 + 5\sqrt{7}}{32} = \frac{5 - 9\sqrt{7}}{32}$。
(2) 令$t = \sin x + \cos x$，$t \in [0, \sqrt{2}]$，则$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$。原方程化为$-\frac{t^2 - 1}{2} + a t = 1$，整理得$t^2 - 2a t + 1 = 0$。
方程有实根等价于存在$t \in [0, \sqrt{2}]$，使得$a = \frac{t^2 + 1}{2t} = \frac{t}{2} + \frac{1}{2t}$。设$f(t) = \frac{t}{2} + \frac{1}{2t}$，$t \in (0, \sqrt{2}]$（$t = 0$时方程无解）。
$f'(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2t^2}$，令$f'(t) = 0$得$t = 1$。当$t \in (0, 1)$时，$f'(t) ＜ 0$；$t \in (1, \sqrt{2}]$时，$f'(t) ＞ 0$，所以$f(t)$在$t = 1$处取最小值，$f(1) = 1$，故$a$的最小值为$1$。
(1) $\frac{5 - 9\sqrt{7}}{32}$；
(2) $1$