《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

3.(能力点2)已知 $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$, $a = (\sin \alpha)^{\sin \alpha}$, $b = (\sin \alpha)^{\cos \alpha}$, $c = (\cos \alpha)^{\sin \alpha}$, 则()。

A.$b ＜ a ＜ c$
B.$b ＜ c ＜ a$
C.$a ＜ b ＜ c$
D.$c ＜ b ＜ a$

答案： A

4.(2024·福建福州期末·能力点1)(多选)已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点O重合, 始边与x轴的非负半轴重合, 终边落在直线 $y = -\sqrt{3}x$ 上, 则 $4\cos \alpha - \sin^2 \alpha$ 的值可能是()。

A.$-\frac{11}{4}$
B.$-\frac{5}{4}$
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{11}{4}$

答案： AC

5.(2025·江苏南京高一期末·能力点1)(多选)在平面直角坐标系xOy中, 点 $A\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$, 角θ的终边与单位圆(圆心在原点, 半径为1的圆)交于点B(A,B不重合), 下列说法正确的是()。

A.若 $\cos \theta = -\frac{3}{5}$, 则点A和点B关于x轴对称
B.若 $\cos \theta = \frac{3}{5}$, 则点A和点B关于y轴对称
C.若点A和点B关于直线 $y = -x$ 对称, 则 $\sin \theta = \frac{3}{5}$
D.若OA和OB相互垂直, 则 $\tan \theta = \frac{3}{4}$

答案： ACD

6.(2024·辽宁重点高中协作体期中·能力点1)已知角α的终边上一点 $P(-\sqrt{3}, m)$ ($m \neq 0$), 且 $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}m}{4}$, 则 $\cos \alpha =$, $\tan \alpha =$。

答案： $-\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$

7.(2024·海南嘉积中学期末·知识点2·能力点1)已知 $\sin \alpha ＜ 0, \tan \alpha ＜ 0$。
(1)求满足条件的角α的集合;
(2)求角 $\frac{\alpha}{2}$ 的终边所在的象限;
(3)试判断 $\tan \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ 的符号。

答案：
(1)由$\sin\alpha＜0$知$\alpha$终边在第三、四象限或$y$轴负半轴；由$\tan\alpha＜0$知$\alpha$终边在第二、四象限。故$\alpha$为第四象限角，集合为$\{\alpha|2k\pi-\frac{\pi}{2}＜\alpha＜2k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$。
(2)$\alpha\in(2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi)$，则$\frac{\alpha}{2}\in(k\pi-\frac{\pi}{4},k\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$。当$k=2n(n\in\mathbb{Z})$时，$\frac{\alpha}{2}\in(2n\pi-\frac{\pi}{4},2n\pi)$（第四象限）；当$k=2n+1(n\in\mathbb{Z})$时，$\frac{\alpha}{2}\in(2n\pi+\frac{3\pi}{4},2n\pi+\pi)$（第二象限）。故$\frac{\alpha}{2}$终边在第二或第四象限。
(3)$\tan\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}·\sin\frac{\alpha}{2}·\cos\frac{\alpha}{2}=\sin^2\frac{\alpha}{2}＞0$，符号为正。

8.(2024·江苏南通高一质检·能力点1,2)已知 $\frac{1}{|\sin \alpha|} = \frac{1}{\sin \alpha}$, 且 $\lg(\cos \alpha)$ 有意义, 在平面直角坐标系xOy中, 角α的顶点为坐标原点, 始边与x轴的非负半轴重合, 终边与圆心在坐标原点且半径为2的圆交于点P, 过点P作x轴的垂线, 垂足为H, $OH = \sqrt{3}$。
(1)求 $\tan \alpha$ 的值;
(2)将OP绕点O逆时针旋转β(0＜β＜π)角到OQ, 若劣弧PQ的长度为π, 求 $\frac{\sin(\alpha + \beta) + \cos(\alpha + \beta)}{\sin \alpha}$ 的值。

答案：
(1)
由$\frac{1}{\vert\sin\alpha\vert}=\frac{1}{\sin\alpha}$，可得$\sin\alpha＞0$。
因为$\lg(\cos\alpha)$有意义，所以$\cos\alpha＞0$。
已知角$\alpha$终边与半径为$2$的圆交于点$P$，过点$P$作$x$轴的垂线，垂足为$H$，$OH = \sqrt{3}$，根据三角函数定义，$\cos\alpha=\frac{OH}{OP}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\alpha=\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}=\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{1}{2}$。
所以$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)
因为半径$r = 2$，劣弧$PQ$的长度$l = r\theta$（$\theta$为圆心角），已知劣弧$PQ$长度为$\pi$，则$2\beta=\pi$（圆心角为$\beta$的$2$倍，这里圆心角就是$\angle POQ=\beta$），解得$\beta=\frac{\pi}{2}$。
则$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})=\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\sin\alpha=-\frac{1}{2}$。
又$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，所以$\frac{\sin(\alpha+\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}-1$。
综上，答案为：
(1)$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
(2)$\sqrt{3}-1$。