《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2-2 全国Ⅱ高考
在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 ()。

A.甲、乙、丙
B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲
D.甲、丙、乙

答案： 解 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测也正确，这与题意相矛盾。综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，故选 A。
答 A

例3
若命题 “$\exists x \in \mathbf{R},x^2 - 2x + a = 0$” 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是。

答案： 解 因为 “$\exists x \in \mathbf{R},x^2 - 2x + a = 0$” 是假命题，所以 $\forall x \in \mathbf{R},x^2 - 2x + a \neq 0$ 恒成立，
所以判别式 $\Delta = 4 - 4a ＜ 0$，解得 $a ＞ 1$。
答 $(1, +\infty)$
点评, 本题先通过存在量词命题的真假与全称量词命题的真假关系，将问题转化为恒成立问题，再通过一元二次方程根的判别式解决问题。

例1 2023·北京大学金秋营试题
已知集合 $A = \{x \mid x = m^2 - n^2, m,n \in \mathbf{Z}\}$。
(1)判断 8,9,10 是否属于集合 $A$；
(2)已知集合 $B = \{x \mid x = 2k + 1, k \in \mathbf{Z}\}$，证明：“$x \in A$” 的充分条件是 “$x \in B$”；但 “$x \in B$” 不是 “$x \in A$” 的必要条件；
(3)写出所有满足集合 $A$ 的偶数。

答案： 答
(1)$\because 8 = 3^2 - 1^2, 9 = 5^2 - 4^2, \therefore 8 \in A, 9 \in A$，
假设 $10 = m^2 - n^2, m,n \in \mathbf{Z}$，则 $(|m| + |n|) · (|m| - |n|) = 10$，且 $|m| + |n| ＞ |m| - |n| ＞ 0$，
$\therefore 10 = 1 × 10 = 2 × 5$，则 $\begin{cases} |m| + |n| = 10, \\ |m| - |n| = 1 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} |m| + |n| = 5, \\ |m| - |n| = 2 \end{cases}$
显然均无整数解，
$\therefore 10 \notin A$，综上，$8 \in A, 9 \in A, 10 \notin A$。
(2)集合 $B = \{x \mid x = 2k + 1, k \in \mathbf{Z}\}$，则恒有 $2k + 1 = (k + 1)^2 - k^2$，
$\therefore 2k + 1 \in A$，即一切奇数都属于 $A$。又 $8 \in A$，而 $8 \notin B$，
$\therefore$“$x \in A$” 的充分条件是 “$x \in B$”；但 “$x \in B$” 不是 “$x \in A$” 的必要条件。
$n^2 = (m + n)(m - n)$ 成立，
①当 $m,n$ 同奇或同偶时，$m + n,m - n$ 均为偶数，$(m + n)(m - n)$ 为 4 的倍数；
②当 $m,n$ 一奇，一偶时，$m + n,m - n$ 均为奇数，$(m + n)(m - n)$ 为奇数，
综上，所有满足集合 $A$ 的偶数为 $4k, k \in \mathbf{Z}$。