《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

换元法是一种重要的数学方法，通过换元,可以将复杂的式子变得简单,但要注意换元后,新旧两个变量之间的关系。新变量的取值范围发生改变不可忽视。
例1
求函数y=4x−5+ $\sqrt{2x−3}$的值域。
错解令t= $\sqrt{2x−3}$,则2x=t²+3,
所以y=2(t²+3)−5+t=2t2+t+1=
2
2(t+$\frac{1}{4}${+$\frac{7}{8}$≥$\frac{7}{8}$。
故所求函数的值域是[$\frac{7}{8}$,+∞)0
错因分析，换元后没有确定新变量的取值范围。
正解令t= $\sqrt{2x−3}$,则2x=t²+3,且t≥0,
所以y=2(t²+3)−5+t=2t²+t+1=
2
2(t+$\frac{1}{4}$)+$\frac{7}{8}$。所以当t=0时,ymin=1。
故所求函数的值域是[1，+∞)。
满分策略，用换元法求函数的值域时，必须确定换元后新元的范围，否则会产生错解。求新元的范围时，要根据已知函数的定义域来求。

答案： 答题卡作答：
令$t = \sqrt{2x - 3}$，因为根号下的数非负，所以$2x - 3\geqslant0$，则$x\geqslant\frac{3}{2}$，且$t\geqslant0$。
由$t = \sqrt{2x - 3}$可得$2x=t^{2}+3$。
将$2x=t^{2}+3$代入$y = 4x - 5+\sqrt{2x - 3}$中，得$y = 2(t^{2}+3)-5 + t=2t^{2}+t + 1$。
将$y = 2t^{2}+t + 1$进行配方：$y=2\left(t^{2}+\frac{1}{2}t\right)+1=2\left(t^{2}+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}\right)+1=2\left(t + \frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{7}{8}$。
因为$t\geqslant0$，函数$y = 2\left(t+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{7}{8}$的图象开口向上，对称轴为$t =-\frac{1}{4}$，所以$y$在$t\geqslant0$时单调递增。
当$t = 0$时，$y$取得最小值，$y_{\min}=2×\left(0+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{7}{8}=1$。
所以函数$y = 4x - 5+\sqrt{2x - 3}$的值域是$[1,+\infty)$。

例2
已知∮(x+2)的定义域为[1,2],则f(2x+1)的
定义域为。
错解由1≤x+2≤2,得−1≤x≤0,则−1≤
2x+1≤0,得−1≤x≤−$\frac{1}{2}$,因此∮(2x+1)的定
义域为[−1,−$\frac{1}{2}$]。
错因分析;混淆“已知f(x)的定义域，求
f(g(x))的定义域”与“已知f(g(x))的定义
域,求f(x)的定义域”两种类型的题目。
正解因为f(x+2)的定义域为[1,2],即1≤
x≤2,所以3≤x+2≤4,
即∮(x)的定义域为[3,4]。
所以3≤2x+1≤4,解得1≤x≤$\frac{3}{2}$。
所以f(2x+1)的定义域为[1,$\frac{3}{2}$]。
答[1,$\frac{3}{2}$]
满分策略，函数∮((x)与f(g(x))中“x”的含义不
同，它们是用同一个字母来表示两个不同函数
的自变量,因此它们的取值范围不一定相同,但
它们之间又有联系,当f(x)中的“x”与∮(g(x))
中的“g(x)”取相同的值时,它们所对应的函数
值相等。

答案： $[1,\frac{3}{2}]$