《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-2
如图5-3-1①②所示分别为函数 $y_1=f(x)$ 和 $y_2=g(x)$ 的图像，试写出函数 $y_1=f(x)$ 和 $y_2=g(x)$ 的单调减区间。

答案：
解 由题意，寻找图像上呈下降趋势的部分，从而确定函数 $y_1=f(x)$ 和 $y_2=g(x)$ 的单调减区间。
答 由图5-3-1①知，函数 $y_1=f(x)$ 的单调减区间为 $[-4, -2)$，$[-2, 1]$，由图5-3-1②知，函数 $y_2=g(x)$ 的单调减区间为 $[0,3]$。
点评 根据函数的图像写出函数的单调区间，主要是观察图像，由图像的上升或下降的趋势确定是增区间还是减区间。

例2
(1) 已知函数 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上的图像如图5-3-2所示，则 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上的最小值、最大值分别是()。

A. $f(-2), 0$
B. $0, 2$
C. $f(-2), 2$
D. $f(2), 2$
函数 $y=-x^2+1$ 的图像，我们可以看到，函数的图像有最高点 $(0,1)$，函数有最大值 $1$。
① 函数的最大(小)值
【教材解读】
(1) 求函数的最大(小)值时，通常要先确定函数的定义域，再确定函数的单调性；
(2) 函数的最值是函数的整体性质，一个函数可能不存在最值，但若存在最值，那么它的最大(小)值是唯一的，且在定义域内必存在 $x_0$，使得 $f(x_0)=f(x)_{\max}$(或 $f(x_0)=f(x)_{\min}$)。
② 函数的最值与值域的区别
函数的值域是所有函数值组成的集合，而函数的最值是函数值中最大(小)的函数值，是属于函数值域的，如函数 $f(x)=2x^2+1 (x \in \mathbf{R})$ 的值域是 $[1, +\infty)$，而它的最小值为 $1 \in [1, +\infty)$。
函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在，如函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域为 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，但它既不存在最大值，也不存在最小值。
③ 函数的单调性与最值的关系
若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是增函数，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值为 $f(a)$，最大值为 $f(b)$；若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是减函数，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值为 $f(b)$，最大值为 $f(a)$。
④ 函数最值的几何意义
函数 $f(x)$ 在其定义域(或某个区间)上的最大值，其几何意义是图像上该区域最高点的纵坐标；最小值为图像上该区域最低点的纵坐标，故由数形结合可得最值。
(2) 设函数 $f(x)=\frac{2x}{x-2}$ 在区间 $[3,4]$ 上的最大值和最小值分别为 $M, m$，则 $\frac{m^2}{M}=$()。
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{8}{3}$
(3) 函数 $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}, & x \ge 1, \\ -x^2+2, & x ＜ 1\end{cases}$ 的最大值为( )。
A. 1
B. 2
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$

答案：
解
(1) 观察图像知，图像最低点的纵坐标为 $f(-2)$，最高点的纵坐标为 $2$。故选 C。
(2) $f(x)=\frac{2x}{x-2}=\frac{2(x-2)+4}{x-2}=\frac{4}{x-2}+2$ 在区间 $[3,4]$ 上单调递减，所以 $M=f(3)=\frac{4}{3-2}+2=6$，$m=f(4)=\frac{4}{4-2}+2=4$，所以 $\frac{m^2}{M}=\frac{8}{3}$。故选 D。
(3) 当 $x \ge 1$ 时，函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 单调递减，此时 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最大值，最大值为 $f(1)=1$；当 $x＜1$ 时，函数 $f(x)=-x^2+2$ 在 $x=0$ 处取得最大值，最大值为 $f(0)=2$。综上，可得 $f(x)$ 的最大值为 $2$。故选 B。
答
(1) C
(2) D
(3) B